Числа степеней свободы для разных источников варьирования

 

Источник варьирования	Алгоритм вычисления числа степеней свободы	Вычисление числа степеней свободы	Число
общая	ky = a × r × n – 1	ky = 6×3×10 – 1 =	= 179
гибриды	ka = a – 1	ka = 6 – 1 =	= 5
повторности	kr = r – 1	kr = 3 – 1 =	= 2
Взаимодействие гибридов и повторностей	kar = (a – 1) × (r – 1)	kar = (6 – 1)×(3 – 1) =	= 10
Остаток или ошибки, или случайная дисперсия: неисправленная величина (m=kz)	kz = ky – ka – kr – kar = (a × r × n – 1) – (a – 1) – (r – 1) – ((a – 1) × (r – 1)) = a×r×n – 1 – a + 1 – r + 1 – (a×r – r – a + 1) = a×r×n – a – r + 1 – a×r + r + a – 1 = a×r×n – a×r = a×r×(n – 1) или, что тоже самое kz = N – a × r = a×r×n – a × r = a×r×(n – 1)	kz = 6×3×(10 – 1) =	= 162
OKC	kOKC = p – 1	kOKC = 4 – 1 =	= 3
CKC	kCKC = [p × (p – 3)]/2	kCKC = [4×(4 – 3)]/2 =	= 2
Исправленная	kе = kz × r × n	kе = 162 × 3 × 10 =	=4860

 

В таблице при определении числа степеней свободы остаточной (или средовой или случайной или экотипической) изменчивости исходим из представления о числе степеней свободы остаточной дисперсии как о разности между общим числом степеней свободы и степенями свободы всех организованных факторов (Гужов, Фукс, Валичек, 1991, стр. 334; Доспехов, 1973, стр. 167 – 168; Лакин, 1980, стр. 219, 221, 233).

 

Примечание

Предложенная схема расчетов имеет свои методические ограничения в части вычисления величины специфической комбинационной способности. В частности, число комбинаций скрещивания не может быть меньше 3. В противном случае число степеней свободы для СКС становится равным «0», что бессмысленно и делает деление на такую степень свободы невозможным, или будет отрицательным, что также бессмысленно.

 

a×b×(c – 1)×b×c = (a×b×c – a×b) × b×c =

 

(a – 1) × (r – 1) × n = (a×r – r – a +1) × n = a×r×n – r×n – a×n + n = a×r×n – (r×n + a×n) + n = a×r×n – n×(r + a) + n = a×r×n – n×(r + a) – 1)

 

Таблица ***

Дисперсионный анализ высоты 20-летних гибридов дуба

Крите-рии	Варианты опыта - Гибридные комбинации (а) а=6 Фактор высшей иерархии																		Сум-ма
	а1 (1х2)			а2 (1х3)			а3 (1х4)			а4 (2х3)			а5 (2х4)			а6 (3х4)
	Повторности испытания потомства (r=3) в каждой комбинации скрещивания Фактор низшей иерархии
	1	2	3	1	2	3	1	2	3	1	2	3	1	2	3	1	2	3
Hi	5,5	5,9	6,4	6,5	6,0	6,3	3,0	3,5	4,0	3,1	4,1	3,9	2,5	4,1	4,0	3,5	4,1	2,8
	5,4	6,1	6,0	6,5	5,9	6,1	3,4	3,4	4,1	3,0	3,0	3,9	4,1	2,6	4,1	3,5	4,0	2,9
	6,0	6,1	6,2	6,1	5,8	5,4	2,8	3,4	3,2	2,8	3,6	3,6	4,1	4,1	4,1	3,8	4,0	4,9
	6,2	6,3	5,8	5,5	6,3	5,0	3,2	3,2	3,1	2,6	3,4	3,5	3,9	3,9	4,0	3,5	4,1	4,1
	6,1	5,8	5,9	5,4	6,5	6,5	3,0	2,8	2,5	3,4	2,8	3,5	3,5	3,6	4,9	2,8	4,0	4,0
	6,4	5,7	5,7	4,9	5,2	6,3	3,0	2,8	2,5	3,0	2,8	2,5	3,5	3,8	3,9	4,1	3,9	3,8
	6,1	5,1	5,0	6,1	6,3	6,0	2,9	2,0	3,8	2,5	2,9	3,4	3,9	3,8	3,9	4,1	3,9	3,8
	6,0	6,4	6,0	6,3	6,2	5,9	2,8	4,1	2,1	2,1	3,1	3,8	4,0	4,1	3,8	4,0	3,2	3,8
	5,9	6,0	6,2	6,4	6,1	5,8	3,6	4,1	3,0	2,9	3,2	4,0	4,9	3,6	3,5	2,9	3,1	3,4
	6,0	6,1	6,3	6,3	6,1	5,6	3,4	2,1	3,1	3,1	3,4	4,0	2,6	3,8	3,5	3,9	2,9	3,0
	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	N=180
	59,6	59,5	59,5	60	60,4	58,9	31,1	31,4	31,4	28,5	32,3	36,1	37	37,4	39,7	36,1	37,2	36,5	ΣΣHi= 772,6
	356,04	355,23	355,47	362,68	365,98	348,81	97,41	103,32	102,62	82,45	105,83	132,13	141,56	141,64	158,99	132,27	140,3	136,95	ΣΣH2i=3615,81
	355,22	354,03	354,03	360,00	364,82	346,92	96,721	98,596	98,596	81,225	104,33	130,32	136,9	139,88	157,61	130,32	138,38	133,23	(ΣHi)2 Σ-------- ni 3595,60
	5,96	5,95	5,95	6	6,04	5,89	3,11	3,14	3,14	2,85	3,23	3,61	3,7	3,74	3,97	3,61	3,72	3,65	ΣHi Σ-------- ni = 77,51

 

Решение задачи состоит из трех этапов.

 

1. доказательство существенности различий между гибридными комбинациями.

2. доказательство наличия эффектов комбинационной способности.

3. анализа комбинационной способности отдельных родителей и вариантов скрещивания.

 

Этап.

Различия между гибридными комбинациями оцениваются по F критерию Фишера в двухфакторном дисперсионном комплексе (табл. ***).

 

1. Вычисляем общую сумму квадратов отклонений:

 

.

 

 

2. На следующем этапе находим межгрупповой квадрат отклонений – общий факториальный квадрат отклонений:

 

 

 

Здесь величина

 

3. Далее находим вспомогательную промежуточную величину – сумму взвешенных квадратов сумм по фактору А (по отношению к числу вариант в пределах каждой соответствующей градации фактора А) для расчета суммы квадратов отклонений по фактору А:

 

 

 

4. После этого определяем сумму квадратов отклонений по первому фактору – фактору высшего уровня иерархии (фактору А):

 

 

 

5. Рассчитываем остаточную сумму квадратов отклонений (по неорганизованным факторам), используя представление об остаточной дисперсии как о той доле её общей величины, которая представляет собой разность между общей дисперсией и дисперсией всех организованных факторов:

 

 

 

6. На следующем этапе вычисляем вариансы или средние квадраты отклонений: вариансу по первому фактору – различия между гибридными комбинациями (А) – ms₁ и остаточную вариансу – по неорганизованным факторам (Z) – ms₃:

 

 

 

 

 

 

Примечание!

Источник ошибки в учебнике М.М. Котова (1997, стр. 136, 137 и далее), согласно которой число степеней свободы остаточной дисперсии многофакторного комплекса равна       k_e = (l – 1 )(n – 1), кроется в следующем выведении (В.П. Бессчетнов) указанного значения (из Доспехов, 1973, стр. 241) для однофакторного дисперсионного комплекса с повторностями:

N = n*l, тогда:

k_e = (N-1) – (n-1) – (l-1) = (n*l – 1 ) – (n- 1 ) – (l- 1 )= n*l – 1 – n + 1 –l + 1 = n*l – n –l + 1 =

= n(l – 1 ) –(l – 1) = (l – 1 )(n – 1).

 

Б.А. Доспеховым (1973) справедливо предполагалось, что в однофакторном комплексе с повторностями не существует взаимодействия между собственно организованным фактором и его повторностями. Важно, что речь в этом случае идет именно об однофакторном комплексе.

 

Аналогичная неоднозначность (неточность, ошибка) опубликована в учебнике П.Ф. Рокицкого, 1978, стр. 266, 360 – 364 при интерпретации расчета величин ОКС и СКС(! У него же введен индекс m для обозначения числа степеней свободы остаточной (случайной) дисперсии без разъяснения как данный показатель формируется.

 

Г.Ф. Лакин (1980, стр. 233), рассматривая двухфакторные равномерные дисперсионные комплексы, предлагает следующую систему оценок степеней свободы:

N= a×b×n, где N – общая численность комплекса; a – число градаций фактора А; b – число градаций фактора В в пределах одного градации фактора А; n – численность одного варианта – одной градации фактора В.

k_y = N – 1 = a×b×n – 1;

k_x = a×b – 1;

k_A = a – 1;

k_B = b – 1;

k_AB = (a – 1)×(b – 1);

k_z = N – a×b = [a×b×n – 1] – [a – 1] – [b – 1] – [(a – 1)×(b – 1)] = a×b×n – 1 – a + 1 – b + 1 – [(a – 1)×(b – 1)] = a×b×n – a – b + 1 – [(a – 1)×(b – 1)] = a×b×n – a – (b – 1) – [(a – 1)×(b – 1)] = a×b×n – a – (b – 1) × [1 + (a – 1)] = a×b×n – a – (b – 1) × a = a×b×n – a – a×b + a = = a×b×n – a×b

 

 

 

7. В заключении находим критерий Фишера:

 

 

 

Сравнение фактического значения критерия Фишера с его табличным значением (на трех уровнях значимости) показывает наличие существенных различий между гибридными комбинациями.

 

Этап.

 

1. Вычисляются средние высоты гибридов по вариантам скрещивания, включая все повторности. Результаты заносятся в диаллельную таблицу (табл. ****).

 

ВНИМАНИЕ!

В учебнике М.М. Котова (1997) не объясняется порядок заполнения таблицы!

При этом заполнение таблицы осуществляется так, что нижняя треугольная часть таблицы является соответствующим повторением её верхней треугольной части. В этом случае принимается во внимание тот факт, что обратных скрещиваний и самоопыления не проводилось. Тогда (!) в нижней треугольной части (!) будем иметь значения признака гибридного потомства, у которого номер материнского дерева является номером отцовского дерева, а номер отцовского – соответственно номером материнского.  

 

Здесь уместнее было бы указать не номера отцовских и материнских деревьев, а «номера особей в прямых диаллельных скрещиваниях». Тогда становится понятным, что нижняя треугольная часть является соответствующим повторением (поскольку повторяются те же комбинации прямых скрещиваний) верхней треугольной части таблицы.

Таблица ****

 

Номера отцовских деревьев	Номера материнских деревьев
	1	2	3	4
1	-	5,95	5,98	3,15	15,08
2	5,95	-	3,24	3,84	13,03
3	5,98	3,24	-	3,66	12,88
4	3,15	3,84	3,66	-	10,65

 

 

2. Находим общую полусумму средних значений высот деревьев – сумму одной из частей (верхней или нижней) полученной равномерной прямоугольной матрицы (только верхняя треугольная часть или только нижняя треугольная часть), т.е. суму значений признака (в нашем случае высоты деревьев) у особей, являющихся гибридным потомством при односторонних прямых диалльльных скрещиваниях.

 

 

 

3. Подсчитываем суммы квадратов, обусловленные общей и специфической комбинационной способностью (SSg, SSs).

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

 

 

 

 

4. Подсчитываем суммы квадратов, обусловленные специфической комбинационной способностью (SSs):

 

 

 

 

где:

р – число родительских пар.

 

 

5. Проводим дисперсионный анализ комбинационной способности (табл. ****):

 

Таблица ****

Дисперсионный анализ комбинационной способности

родительских деревьев дуба

 

№	Источники варьирования	Сумма квадратов отклонений SS	Число степеней свободы df	Средний квадрат отклонений ms	Критерий Фишера опытный Fфактич.
1.	Общая комбинационная способность	SSg=4,92	df = p – 1 = 3
2.	Специфическая комбинационная способность
3.	Случайные отклонения				-
	Стандартные значения F	Fg = 3,8 – 7,0 – 13,1 Fs = 4,1 – 7,9 – 14,9

 

 

Различия по общей и специфической комбинационной способности оказались недостоверными.

 

Если бы Fg был достоверен, можно было бы приступить к третьему этапу анализа.

 

3 этап.

 

Рассчитывается средний эффект (u) и эффекты общей комбинационной способности отдельных родителей (g_i).

 

1. Рассчитываем средний эффект:

 

ВНИМАНИЕ!

 

Здесь уместнее объяснить, что средний эффект по сути является общим средним значением селектируемого (анализируемого) признака, отклонение от которого частного среднего значения признака гибридного потомства отдельного дерева во всех комбинациях его скрещивания со всеми остальными особями есть мера оценки ОКС.

 

Тогда предложенный алгоритм расчета общего среднего уместнее представить в более развернутой форме:

, где

 

.

2. Рассчитываем эффекты общей комбинационной способности отдельных родителей:

 

ВНИМАНИЕ!

Возможно, приведен не точный алгоритм расчета.

 

 

            

ВЫВОД.

Лучшей комбинационной способностью обладает первое дерево.

 

Сходный вывод напрашивается даже при общем знакомстве с исходными данными. В двух комбинациях из трех средняя высота гибридного потомства этого дерева почти в два раза превосходит высоту гибридных растений в других вариантах скрещивания.

 

ВНИМАНИЕ!

Скорее всего, более корректным будет алгоритм расчета, в котором при вычислении «средних» значений «контрольных» деревьев и полусибсового потомства, происходящего от одной особи и разных опылителей, в знаменателе первого сомножителя должна стоять разность между числом родительских пар и «единицей», а не «двойкой».

 

В этом случае ОКС каждого из родителей рассчитывается как разность между общим средним значение признака всех гибридов прямого диаллельного скрещивания во всех его комбинациях (когда растение выступает и как отцовское, и как материнское) и средним значение признака гибридного потомства одного из испытываемых родителей во всех комбинациях скрещивания, где одним (любым – материнским или отцовским) из родителей было испытываемое дерево.

 

 

3. В случае достоверности ms_s далее вычисляются константы специфической комбинационной способности по формуле:

 

 

 

Для нашего примера получим:

 

 

 

4. Полученные значения констант (S_ij) заносим в следующую таблицу (табл.*****):

 

 

Таблица ****

Эффекты общей (g_i), константы специфической (S_ij) и

вариансы специфической комбинационной способности ()

Номера отцовских деревьев	Константы СКС по номерам материнских деревьев, Sij				Эффекты ОКС, gi	Вариансы СКС,
	1	2	3	4
1	-	0,50	0,61	-1,10	1,11	0,56
2	0,50	-	-1,11	0,61	0,06	0,60
3	0,61	-1,11	-	0,51	-0,01	0,60
4	-1,11	0,61	0,51	-	-1,13	0,59

 

 

5. Вычисляются вариансы специфической комбинационной способности по каждому дереву:

 

Скорректированный алгоритм:

 

σ²_Si =

 

 

По М.М. Котову (1997), запись несет в себе неточности, требующие коррекции, имеем:

 

6. Значения варианс СКС по каждому дереву заносим в ту же таблицу (табл.***).

 

ВЫВОД.

По специфической комбинационной способности взятые для скрещивания деревья не отличаются друг от друга, на что и указывала раньше недостоверность ms_s.