Определение. Числовая функция векторного аргумента , определённая в комплексном линейном пространстве , называется линейной формой (линейной функцией) первого рода, если она ставит в соответствие комплексное число , причём выполняются следующие условия:
1° ,
2°
Это совпадает с определением линейной формы в вещественном пространстве. Например, при и некотором фиксированном функция представляет собой линейную форму первого рода.
Определение. Числовая функция векторного аргумента , определённая в комплексном линейном пространстве , называется линейной формой второго рода, если она ставит в соответствие комплексное число , причём выполняются следующие условия:
1° ,
2°
Здесь - комплексное число, сопряженное с числом . Например, при и некотором фиксированном функция представляет собой линейную форму второго рода.
Можно показать, что всякая линейная форма первого рода может быть записана в виде
|
|
,
где - координаты вектора в базисе , а числа .
Всякая линейная форма второго рода может быть записана в виде
.
Очевидно, если есть линейная форма первого рода, то - линейная форма второго рода.
Так как билинейная форма есть функция двух векторов, линейная по каждому из аргументов, то наличие в комплексном пространстве двух типов линейных функций приводит к существованию четырех типов билинейных форм. Нас интересуют только те билинейные формы, у которых линейность по аргументу первого рода, а по аргументу - второго рода.
Определение. Числовая функция от двух векторных аргументов называется билинейной формой, если она ставит в соответствие комплексное число , причём для любого комплексного числа выполняются следующие условия:
1°.
2°. .
. Примером билинейной формы в комплексном пространстве является скалярное произведение в комплексном евклидовом пространстве , рассматриваемое как функция векторов и . Легко проверить, что условия, определяющие билинейную форму, в этом случае выполнены.
Пусть в -мерном комплексном пространстве задан базис и определена билинейная форма как функция векторов и .
Тогда из определения билинейной формы следует:
.
Матрица из чисел называется матрицей билинейной формы в базисе .
Определение. Билинейная форма называется эрмитовой, если
= .
Это понятие является аналогом симметричной билинейной формы в вещественном пространстве. Например, билинейная форма , определенная как скалярное произведение в комплексном евклидовом пространстве, является эрмитовой, т.к. выполнено условие . А скалярное произведение в вещественном евклидовом пространстве – симметричная билинейная форма.
|
|
Для того чтобы форма была эрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы ее матрица в каком либо базисе удовлетворяла условию . Действительно, если форма эрмитова, то . Обратно, если , то .
Очевидно, если для матрицы формы условие выполняется в каком либо базисе, то оно выполнено и в любом другом базисе. В самом деле, = , но тогда и в любом другом базисе .
Так же, как это было сделано для вещественного пространства, можно показать, что если и - матрицы билинейной формы в базисах и соответственно, то . Здесь - матрица перехода от базиса к базису , а - матрица, транспонированная и комплексно-сопряженная к матрице (напоминаем, что в аналогичной формуле для вещественного пространства вместо фигурировала матрица ).
Если в эрмитовой билинейной форме положить , то получим эрмитову квадратичную форму. Примером эрмитовой квадратичной формы является скалярный квадрат
.
В комплексном пространстве справедливы теоремы о приведении квадратичной формы к сумме квадратов, а также закон инерции и критерий положительной определенности квадратичной формы.