Инвариантные подпространства

Собственные векторы и собственные значения

Линейного оператора

Пусть - некоторое подпространство пространства и . Вообще говоря, для произвольного вектор не обязательно принадлежит . Однако может случиться, что некоторые подпространства переходят сами в себя под действием оператора .

Определение. Линейное подпространство называется инвариантным относительно оператора , если .

Тривиальными инвариантными подпространствами является все пространство, а также подпространство, состоящее только из нуль-вектора.

Примеры. 1. Пусть в задан оператор поворота на некоторый угол вокруг оси . Инвариантными подпространствами являются, во-первых, ось вращения (одномерное инвариантное подпространство), во-вторых, плоскость , ортогональная оси вращения (двумерное инвариантное подпространство).

2. На плоскости задан оператор, растягивающий плоскость в раз вдоль оси и в раз вдоль оси :

Координатные оси в этом случае - одномерные инвариантные подпространства. В частности, при оператор есть преобразование подобия с коэффициентом , а любая прямая, проходящая через начало координат, есть инвариантное подпространство.

3. Рассмотрим в пространстве , оператор дифференцирования: . Совокупность многочленов степени образует инвариантное подпространство. Действительно, дифференцируя многочлен степени , мы получим многочлен, степень которого снова не превосходит .

4. Ядро и образ линейного оператора являются инвариантными подпространствами.

Особую роль в дальнейшем будут играть одномерные инвариантные подпространства.

Пусть - одномерное подпространство, порожденное вектором (совокупность векторов вида ). По определению, пространство инвариантно относительно оператора тогда и только тогда, если вектор , т.е. вектор кратен вектору : .

Определение. Вектор , удовлетворяющий соотношению , называется собственным вектором, а соответствующее число - собственным значением (характеристическим числом) оператора .

Итак, если - собственный вектор, то векторы образуют одномерное инвариантное подпространство. И наоборот: все ненулевые векторы одномерного инвариантного подпространства являются собственными.

Имеет место следующая

Основная теорема. В комплексном линейном пространстве каждый линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Доказательство. Пусть - комплексное -мерное линейное пространство и - произвольный базис в этом пространстве. И пусть оператор определяется в этом базисе матрицей . Тогда представляется в виде

а вектор - в виде

Пусть вектор - собственный для оператора , т.е. . В матричной записи это выглядит так:

или .

Перепишем последнее условие в координатной форме:

Иначе:

(1)

Нам надо доказать, что система (1) имеет нетривиальное решение . Критерием нетривиальной совместности квадратной системы является равенство нулю ее определителя:

. (2)

Получили уравнение -ой степени относительно , которое в поле комплексных чисел имеет хотя бы один корень (основная теорема алгебры). Подставляя в систему (1) этот корень, найдем ненулевое решение системы . Тогда вектор будет собственным вектором, а число - собственным значением оператора : .¨

Замечание. Доказательство теоремы остается в силе, если рассматривать оператор не во всем пространстве , а в любом его инвариантном подпространстве. Поэтому в любом инвариантном подпространстве существует хотя бы один собственный вектор оператора .

Определение. Многочлен , стоящий в левой части уравнения (2), называется характеристическим многочленом оператора , а само уравнение (2) - характеристическим (вековым) уравнением.

Следствие. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда это число – корень характеристического уравнения.

При переходе к другому базису матрица оператора (и оператора ) изменяется, но eё определитель остается неизменным. Поэтому будем обозначать характеристический многочлен = , подразумевая под матрицей матрицу линейного оператора в произвольном базисе. Теперь характеристическое уравнение кратко запишем так:

=0.

Представим характеристический многочлен в виде

Коэффициенты , построенные по матрице оператора , не зависят от выбора базиса, так как этим свойством обладает характеристический многочлен. Можно выразить явно через элементы матрицы . Очевидно, старший коэффициент . Мы обратим внимание на коэффициенты и , играющие наибольшую роль. Эти коэффициенты в силу теоремы Виета с точностью до знака совпадают: – с суммой, а – с произведением всех корней характеристического уравнения (всех собственных значений). Сумма называется следом матрицы и обозначается (от английского trace - след) или (от немецкого spur).

В заключение обратим внимание на одно важное свойство характеристического многочлена.

Теорема Гамильтона-Кэли. Если - характеристический многочлен матрицы , то . Иначе: всякая матрица обнуляет свой характеристический многочлен.

Пример. Для матрицы найдём собственные значения и собственные векторы.

Собственный вектор матрицы (оператора) определяется условием

Значит, координаты собственного вектора находятся как нетривиальное решение однородной линейной системы

(*)

Составим характеристическое уравнение :

. (**)

Корни этого уравнения - собственные значения - .

Найдём собственный вектор , соответствующий собственному значению .

Поставим в систему (*) :

Отсюда находим (одна свободная неизвестная). Полагая, например, , получим . Первый собственный вектор с точностью до постоянного множителя определён: .