Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами

    Если , то уравнение будет иметь вид:

и называться линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Это уравнение может быть приведено к виду

Общее решение этого уравнения определяется формулой

где  - общее решение соответствующего однородного уравнения

,

а  - частное решение исходного уравнения .

В простейших случаях, когда функция  является показательной, или многочленом, указанное частное решение находится с помощью метода неопределенных коэффициентов.

1. Если

где  - постоянные, то частное решение ищут в виде

,

когда  не является корнем характеристического уравнения или в виде

,

когда  - простой корень характеристического уравнения, или

,

когда  - кратный корень указанного уравнения.

2. Если

где  - постоянные, то частное решение ищут в виде

,

когда , и в виде

,

когда .

3. Если 

 ,

где   - многочлен степени , то частное решение дифференциального уравнения  ищут в виде

в случае, когда , и в виде

,

когда , .

 

Пусть дано неоднородное уравнение

правая часть которого  есть сумма двух функций   и .

Если  является частным решением , а  - частным решением , то   - частное решение .

 

Пример. Проинтегрировать уравнение .

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Характеристическое уравнение      имеет корни

Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой

.

Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения.

Так как в данном случае  (т.е. имеет вид  где , ) и  не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

.

Найдя производные этой функции

и ,

и подставляя выражения для ,   в исходное уравнение, получаем

.

Так как  - решение уравнения, то последнее равенство выполняется для всех , т.е. является тождеством:

откуда  . Следовательно, частное решение имеет вид

.

Соответственно, общее решение

.