Прием преобразования и условия, и заключения (аналитико – синтетический метод)

Аналитико-синтетический метод доказательства заключается в том, что в процессе доказательства происходит последовательное преобразование то условия теоремы, то заключения.

Пример: доказательство теоремы: «Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм».

Дано: ABCD – четырехугольник,                  В                           С

AB = CD, AD =BC.

Доказать: ABCD – параллелограмм.            

                                                                   А                              D

Доказательство:

Требуется доказать, что ВС‖ АД.

Для этого достаточно доказать, чтобы внутренние накрест лежащие углы ∟ВСО и ∟ОАD, образованные прямыми ВС и АD и секущей АС были равны.

А для того, чтобы доказать, что эти углы равны надо доказать равенство ∟ВОС и ∟DОА, и что интересующие нас углы лежат против соответственно равных сторон. В последнем убеждаешься из чертежа, так как ВО=ОD по условию.

Для того, чтобы ΔВОС и ΔDОА были равны достаточно доказать либо первый, либо второй, либо третий признак равенства треугольников. В данном случае нам удобнее доказать первый признак, т.к. ВО=ОD и СО=ОА по условию теоремы, а ∟ВОС = ∟DОА, как вертикальные.

Далее составляем схему проведенного анализа:

То II>III>IV), перебираясь, каждый раз от заключения к его основанию, происходит рассуждение по схеме: «чтобы доказать (I), надо доказать (II) и т.д.» [1]

Проще говоря, мы создаем некую цепь определенных действий и условий: каждое верхнее суждение есть необходимое условие для нижнего. После проведенного анализа нужно воссоединить все в одно целое, т.е. провести синтез. Предположим, что будет проводиться рассуждение справа налево (IV>III>II>I), нанизывая цепь достаточных условий от основания к заключению, и рассуждая так: «если IV, то III, если III, то II и т.д.»