Свободные гармонические колебания

1 Через сколько времени от начала движения точка, совершающая гармоническое колебание, сместится от положения равновесия на половину амплитуды? Период колебаний равен 24 с, начальная фаза – нулю.

2 Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки 49,3 см/с², период колебаний 2 с, смещение точки из положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.

3 Материальная точка массой 10 г колеблется по уравнению χ = 5sin[(πt/5) + (π/4)]. Найти максимальную силу, действующую на точку и полную энергию колеблющейся точки.

4 Определить период малых колебаний математического маятника – шарика, подвешенного на нити длиной l = 20 см, если он находится в идеальной жидкости, плотность которой в η = 3 раза меньше плотности шарика.

5 Тонкий однородный стержень длины l = 1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, отстоящей на расстоянии χ= 20 см от его середины. Определить период колебаний стержня, если максимальный угол отклонения от положения равновесия φ ≤ 8°.

6 К пружине подвешена чашка весов с гирями. При этом период вертикальных колебаний равен 0,5 с. После того как на чашку весов положили ещё добавочные гири, период вертикальных колебаний стал равен 0,6 с. Насколько удлинилась пружина от прибавления этого добавочного груза?

7 Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебательных движений с одинаковым периодом 8 с и одинаковой амплитудой 0,02 м. Разность фаз между этими колебаниями равна π/4. Начальная фаза одного из этих колебаний равна нулю.

8 Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуда колебаний A₁ = 3 см, A₂ = 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если колебания совершаются в одном направлении и если колебания взаимно перпендикулярны.

9 Два шарика, которые имеют одинаковые радиусы и массы m₁иm₂, соединены лёгкой пружинкой длиной l ₀ и жёсткостью κ. Система находится на абсолютно гладком столе. В некоторый момент времени пружинку растянули на a << l ₀ и отпустили. Найти период малых колебаний, закон изменения во времени расстояния между шариками.

10 Какую индуктивность надо включить в колебательный контур, чтобы при ёмкости в 2 мкФ получить звуковую частоту 1000 Гц? Сопротивлением контура пренебречь. 

11 Точка совершает колебания по закону X = A sin ωt. В некоторый момент времени смещение X₁ точки оказалось равным 5 см. Когда фаза колебаний увеличилась вдвое, смещение X₂ стало равным 8 см. Найти амплитуду A колебаний.

12 Тонкий обруч, подвешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус R обруча равен 30 см. Вычислить период Т колебаний обруча.

    Затухающие и вынужденные колебания

1 Логарифмический декремент затухания математического маятника равен 0,2. Найти, во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника.

2 Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания, равным 0,2. Во сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении за одно колебание?

3 Математический маятник длиной 0,5 м, выведенный из положения равновесия, отклонился при первом колебании на 5 см, а при втором (в ту же сторону) – на 4 см. Найти время релаксации (за это время амплитуда колебаний уменьшается в е раз, где е – основание натурального логарифма).

4 К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на 9,8 см. Оттягивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют его совершать колебания. Чему должен быть равен коэффициент затухания δ, чтобы колебания прекратились через 10 с (считая условно, что колебания прекратились, если их амплитуда упала до 1 % от начальной величины), груз возвращался в положение равновесия апериодически, логарифмический декремент затухания был равен 6?

5 Тело массой m = 10 г совершает затухающие колебания с максимальным значением амплитуды 7 см, начальной фазой, равной нулю, и декрементом затухания, равным 1,6 с^–1. На это тело начала действовать внешняя периодическая сила, под действием которой установились вынужденные колебания, уравнение которых имеет вид: χ = 5sin(10πt – 0,75π). Найти уравнение (с числовыми коэффициентами) собственных колебаний, уравнение (с числовыми коэффициентами) внешней периодической силы.

6 В воде плавает льдина в виде параллелепипеда с площадью основания S = 1 м² и высотой Н = 0,5 м. Льдину погружают в воду на небольшую глубину χ = 5 см и отпускают. Определить период колебаний льдины. Силой сопротивления воды пренебречь.

В начальный момент времени льдине сообщили скорость, равную υ₀. Определить её скорость в произвольный момент времени, если сила сопротивления воды пропорциональна скорости льдины: F_с= – rυ, где r – коэффициент пропорциональности.

7 Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 0,2 мкФ и катушки индуктивностью 5,07 ∙ 10^–3 Гн. При каком логарифмическом декременте затухания разность потенциалов на обкладках конденсатора за
10^–3 с уменьшится в 3 раза? Чему при этом равно сопротивление контура?

8 Колебательный контур состоит из индуктивности в 10^–2 Гн, ёмкости в 0,405 мкФ и сопротивления в 2 Ом. Найти, во сколько раз уменьшится разность потенциалов на обкладках конденсаторов за время одного периода.

9 Катушка длиной 50 см и площадью поперечного сечения 10 см² включены в цепь переменного тока частотой 50 Гц. Число витков катушки 3000. Найти активное сопротивление катушки, если известно, что сдвиг фазы между напряжением и током равен 60°.

10 В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены последовательно ёмкость 35,4 мкФ, активное сопротивление 100 Ом и индуктивность 0,7 Гн. Найти силу тока в цепи и падение напряжения на ёмкости, омическом сопротивлении и индуктивности.

11 Катушка, индуктивность которой 3 ∙ 10^–5 Гн, присоединена к плоскому конденсатору с площадью пластин 100 см² и расстоянием между ними 0,1 мм. Чему равна диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами, если контур резонирует на длину волны 750 м?

12 Уравнение изменения во времени разности потенциалов на обмотках конденсатора в колебательном контуре дано в виде U = 50сos(10⁴pt). Емкость конденсатора равна 10^–7 Ф. Найти период колебаний, индуктивность контура, закон изменения со временем силы тока в цепи.

13 Тело массой m = 5 г совершает затухающие колебания. В течение времени Dt = 50 c тело потеряло 60 % своей энергии. Определить коэффициент сопротивления r.

14 Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 0,2 мкФ и катушки индуктивностью 5,07×10^-3 Гн. При малом логарифмическом декременте затухания разность потенциалов на обмотках конденсатора за
10^–3 с уменьшится в 3 раза. Чему при этом равно сопротивление контура?

15 Определить, насколько резонансная частота отличается от частоты ν₀ = 1 кГц собственных колебаний системы, характеризуемой коэффициентом затухания d = 400 с^–1.

16 Катушка с активным сопротивлением 10 Ом и индуктивностью L включена в цепь переменного тока напряжением 127 В и частотой 50 Гц. Найти индуктивность катушки, если известно, что катушка поглощает мощность 400 Вт и сдвиг фаз между током и напряжением равен 60°.

    Волны. Акустика

1 Уравнение незатухающих колебаний дано в виде χ = sin2,5πt. Найти смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии 20 м от источника колебаний для момента t = 1 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний равна 100 м/с.

2 Какую разность фаз будут иметь колебания двух точек, находящихся на расстоянии 10 и 16 м от источника колебаний соответственно? Период колебаний 0,04 с, скорость распространения колебаний 300 м/с.

3 Определить длину волны колебаний, если расстояние между первой и четвёртой пучностями стоячей волны равно 15 см.

4 Чему равен показатель преломления звуковых волн на границе воздух–стекло? Модуль Юнга для стекла равен 6,9 · 10¹⁰ Н/м², плотность стекла 2,6 г/см³, температура воздуха 20 °C.

5 Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями 72 и 54 км/ч. Первый поезд даёт свисток с частотой 600 Гц. Найти частоту колебаний звука, который слышит пассажир второго поезда перед и после встречи поездов. Скорость звука принять равной 340 м/с.

6 Когда поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя, высота тона гудка паровоза меняется скачком. Какой процент от истинной частоты тона составляет величина скачка, если скорость движения поезда 60 км/ч, а скорость звука в воздухе 340 м/с.

7 Ружейная пуля летит со скоростью 200 м/с. Найти, во сколько раз изменится высота тона свиста пули для неподвижного наблюдателя, мимо которого пролетела пуля. Скорость звука принять равной 333 м/с.

8 Летучая мышь летит перпендикулярно к стене со скоростью v= 6,0 м/с, издавая ультразвук частотой ν = 4,5 · 10⁴ Гц. Звук каких двух частот слышит летучая мышь? Скорость звука принять 340 м/с.

9 Две точки находятся на расстоянии х = 50 см друг от друга на прямой, вдоль которой распространяется волна со скоростью v = 50 м/с. Период колебаний равен 0,05 с. Найти разность фаз Dj колебаний этих точек. 

10 Имеется два источника, совершающих колебания в одинаковой фазе и возбуждающие в окружающей среде плоские волны одинаковой частоты и амплитуды (А₁ = А₂ = А₀ = 1 мм). Найти амплитуду А колебаний точки среды, отстоящей от одного источника колебаний на расстоянии х₁ = 3,5 м и от другого - на х₂ = 5,4 м. Направления колебаний в рассматриваемой точке совпадают. Длина волны l = 0,6 м.

11 Два параллельных провода, погружённых в глицерин, индуктивно соединены с генератором электромагнитных колебаний, частотой ν = 420 МГц. Расстояние l между пучностями стоячих волн на проводах равно 7 см. Найти диэлектрическую проницаемость глицерина. Магнитную проницаемость принять равной единице.

 

Список литературы

1 Трофимова, Т. И. Курс физики: учеб. пособие для втузов / Т. И. Трофимова. – М.: Академия, 2007. – 560 с.

2 Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 2001. – 718 с.

3 Трофимова, Т. И. Курс физики. Задачи и решения: учеб. пособие для втузов / Т. И. Трофимова, А. В. Фирсов.– М.: Академия, 2004. – 592 с.

4 Волькенштейн, B. C. Сборник задач по общему курсу физики /
B. C. Волькенштейн. – М.: Наука, 2003. – 328 с.

5 Чертов, А. Г. Задачник по физике / А. Г. Чертов, А. А. Воробьев. – М.: Высш. шк., 1981. – 430 с.

6 Сена, Л. А. Единицы физических величин и их размерность / Л. А. Сена. – М.: Наука, 1988. – 432 с.