Элементы атомной физики, квантовой механики и физики твердого тела

Боровская теория водородоподобного атома. Момент электрона
(второй постулат Бора) импульса

 или   mV_nr_n = ,

где m – масса электрона;

V_n – скорость электрона на n -й орбите;

r_n – радиус n -й стационарной орбиты;

h – постоянная Планка;

n – главное квантовое число, n = 1, 2, 3, ….

Радиус n -й стационарной орбиты

где а ₀ – первый боровский радиус.

Энергия электрона в атоме водорода

где E_i – энергия ионизации атома водорода.

Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода,

,

или

,

где n ₁ и n ₂ – квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.

Спектроскопическое волновое число

,

где l – длина волны излучения или поглощения атомом;

R – постоянная Ридберга.

Волновые свойства частиц. Длина волны де Бройля

,

где p – импульс частицы.

Импульс частицы и его связь с кинетической энергией Т:

;

;

где   m ₀ – масса покоя частицы;

m – релятивистская масса;

V – скорость частицы;

c – скорость света в вакууме;

E ₀ – энергия покоя частицы, E ₀ = m ₀ c ².

Соотношение неопределенностей:

– для координаты и импульса

,

где  - неопределенность проекции импульса на ось Х;

 - неопределенность координаты;

– для энергии и времени

где D Е - неопределенность энергии;

D t - время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

где y(x) – волновая функция, описывающая состояние частицы;

m – масса частицы;

Е – полная энергия;

U – потенциальная энергия частицы.

Плотность вероятности

,

где dw (x) – вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой x на интервале dx.

Вероятность обнаружения частицы в интервале от x ₁ до x ₂

Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика имеет вид:

(собственная нормированная волновая функция) для собственного
значения энергии

где n – квантовое число (n = 1, 2, 3, …);

  l – ширина ящика.

В областях  и  и .

Элементы квантовой статистики. Распределение свободных электронов в металле по энергиям при 0 K имеет вид:

,

где dn (ε) – концентрация электронов, энергия которых заключена в пре-
делах от ε до ε+ d ε;

m – масса электрона.

Это выражение справедливо при ε < ε _F (где ε _F – энергия Ферми).

Энергия Ферми в металле при T = 0 K

,

где n – концентрация электронов в металле.