Волновые свойства микрочастиц. Соотношение неопределенностей. Элементы квантовой механики

1 Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 200 В, имеет длину волны де Бройля l = 2,02 нм. Найти массу m частицы, если ее заряд численно равен заряду электрона.

2 α-частица движется по окружности радиусом r = 8,3 мм в однородном магнитном поле, напряженность которого H = 18,9 кА/м. Найти длину
волны де Бройля дл я a-частицы.

3 Найти длину волны де Бройля для атома водорода, движущегося при температуре Т = 293 К с наиболее вероятной скоростью.

4 Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, показать, что ядра атомов не могут содержать электронов. Считать радиус ядра равным см.

5 Определить относительную неопределенность Δ p / p импульса движу­щейся частицы, если допустить, что неопределенность ее координаты
равна длине волны де Бройля.

6 Частица массой m движется в одномерном потенциальном поле U = k x ²/2 (гармонический осциллятор). Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частицы в таком поле.

7 Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода и соответствующее эффективное расстояние его от ядра.

8 Свободный электрон в момент t = 0 локализован в области Δ x ₀ = 0,1 нм (порядок размера атома). Оценить с помощью соотношения неопределенностей ширину области локализации этого электрона спустя t = 1 с.

9 След пучка электронов на экране электронно-лучевой трубки
имеет диаметр d ≈ 0,5 мм. Расстояние от электронной пушки до
экрана l ≈ 20 см, ускоряющее напряжение U = 10 кВ. Оценить неопре­деленность координаты на экране.

10 Оценить относительную ширину Δω/ω спектральной линии, если известны время жизни атома в возбужденном состоянии (τ = 10^-8 c) и длина волны излучаемого фотона λ = 0,6 мкм.

11. Электрон с кинетической энергией T = 4 эВ локализован в области размером l = 1 мкм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости.

12 Оценить наименьшие ошибки, с которыми можно определить скорость электрона, протона и шарика массой 1 мг, если координаты частиц и центра шарика установлены с неопределенностью 1 мкм.

13 Исходя из того, что радиус атома имеет величину около 0,1 нм, оценить скорость движения электрона в атоме водорода.

14 Собственная функция, описывающая состояние частицы в потен­циальном ящике, имеет вид ψ _n (x) = C sin(π n /l) x. Используя условие нормировки, определить постоянную С.

15 Изобразить на графике вид первых трех собственных функций ψ _n (x), описывающих состояние электрона в потенциальном ящике шириной l,
а также вид │ψ _n (x)│². Установить соответствие между числом N узлов волновой функции (т. е. числом точек, где волновая функция обращается
в нуль в интервале 0 < x < l) и квантовым числом n. Функцию считать
нормированной на единицу.

16 Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной l. Определить вероятность нахождения электрона на втором энергетическом уровне в средней трети ящика.

17 Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной l. Определить среднее значение координаты < x > электрона  (0 < x < l).

18 Электрон в атоме водорода описывается в основном состоянии волновой функцией ψ(r) = Ce^–r/a. Определить отношение вероятностей ω₁/ω₂ пребывания электрона в сферических слоях толщиной Δ r = 0,01 а и радиусами r ₁ = 0,5 a и r ₂ = 1,5 а.

19 Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов U = 1 кВ. Известно, что неопределенность скорости составляет 0,1 % от его числового значения. Определить неопределенность координаты электрона. Являются ли электроны в данных условиях квантовой
или классической частицей?

20 Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину около 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить мини­мальные линейные размеры атома.