Правописание… пожалуйста, не повторяйте ошибок некоторых пользователей Яндекса, которых интересует «как построить эллибз», «отличие элипса от овала» и «эксцентриситет элебса».
Каноническое уравнение эллипса имеет вид , где – положительные действительные числа, причём . Само определение эллипса я сформулирую позже, а пока самое время отдохнуть от говорильни и решить распространённую задачу:
Как построить эллипс?
Пример 1
Построить эллипс, заданный уравнением
Решение: сначала приведём уравнение к каноническому виду:
Зачем приводить? Одно из преимуществ канонического уравнения заключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках . Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению .
В данном случае :
Отрезок называют большой осью эллипса;
отрезок – малой осью;
число называют большой полуосью эллипса;
число – малой полуосью.
в нашем примере: .
Чтобы быстро представить, как выглядит тот или иной эллипс достаточно посмотреть на значения «а» и «бэ» его канонического уравнения.
Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Из уравнения эллипса на черновике быстренько выражаем:
Далее уравнение распадается на две функции:
– определяет верхнюю дугу эллипса;
– определяет нижнюю дугу эллипса.
Заданный каноническим уравнением эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат. Очевидно, что достаточно разобраться с 1-й координатной четвертью, поэтому нам потребуется функция . Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами .
Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу выяснится в ходе построения.
Отметим на чертеже точки (красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:
Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу. В результате должен получиться вполне достойный эллипс. Кстати, не желаете ли узнать, что это за кривая?
Определение эллипса. Фокусы эллипса и эксцентриситет эллипса
Эллипс – это частный случай овала. Это математический термин, имеющий развёрнутую формулировку.
Эллипс – это множество всех точек плоскости, сумма расстояний до каждой из которых от двух данных точек , называемых фокусами эллипса, – есть величина постоянная, численно равная длине большой оси этого эллипса: .
При этом расстояния между фокусами меньше данного значения: .
Сейчас станет всё понятнее:
Представьте, что синяя точка «ездит» по эллипсу. Так вот, какую бы точку эллипса мы ни взяли, сумма длин отрезков всегда будет одной и той же:
Убедимся, что в нашем примере значение суммы действительно равно восьми. Мысленно поместите точку «эм» в правую вершину эллипса, тогда: , что и требовалось проверить.