2020-06-10
482
Понятие алгебраической линии и её порядка
Линию на плоскости называют алгебраической, если в аффинной системе координат её уравнение имеет вид 
, где 
– многочлен, состоящий из слагаемых вида 
(
– действительное число, 
– целые неотрицательные числа).
Далее под словом «линия» по умолчанию будет подразумеваться алгебраическая линия на плоскости
Порядок линии равен максимальному значению 
входящих в него слагаемых.
Общее уравнение линии второго порядка имеет вид 
, где 
– произвольные действительные числа ( 
принято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты 
не равны одновременно нулю.
Если 
, то уравнение упрощается до 
, и если коэффициенты 
одновременно не равны нулю, то это в точности общее уравнение «плоской» прямой, которая представляет собой линию первого порядка.
Однако вернёмся к общему уравнению 
и вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола 
, уравнение которой легко привести к общему виду 
, и гипербола 
с эквивалентным уравнением 
. Однако не всё так гладко….
Существенный недостаток общего уравнения состоит в том, что почти всегда не понятно, какую линию оно задаёт. Даже в простейшем случае не сразу сообразишь, что это гипербола.
Что такое канонический вид уравнения?
Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет. Кроме того, канонический вид очень удобен для решения многих практических заданий. Так, например, по каноническому уравнению 
«плоской» прямой, во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка 
и направляющий вектор 
.
Очевидно, что любая линия 1-го порядка представляет собой прямую. На втором же этаже нас ждёт уже не вахтёр, а гораздо более разнообразная компания из девяти статуй:
Классификация линий второго порядка
С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов:
(
и 
– положительные действительные числа)
1) 
– каноническое уравнение эллипса;
2) 
– каноническое уравнение гиперболы;
3) 
– каноническое уравнение параболы;
4) 
– мнимый эллипс;
5) 
– пара пересекающихся прямых;
6) 
– пара мнимых пересекающихся прямых (с единственной действительной точкой пересечения в начале координат);
7) 
– пара параллельных прямых;
8) 
– пара мнимых параллельных прямых;
9) 
– пара совпавших прямых.
Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий 2-го порядка, но на практике наиболее часто встречаются эллипс, гипербола и парабола.
