Растяжение (сжатие) прямого бруса постоянного сечения

Установим единый план постановки и решения прямой задачи для бруса (стержня): задаются условия для деформаций продоль­ных волокон бруса; записываются зависимости, присущие данному виду деформации; выделяется основное неизвестное, имеющее не­посредственную связь с другими искомыми величинами, после чего выполняется решение.

Для чистого растяжения задаются следующие условия: 1) сечения остаются плоскими, т.е. все волокна, параллельные оси бруса, деформируясь одинаково, испытывают только растяже­ние, деформации сдвига отсутствуют, откуда согласно физическо­му закону следует, что касательные напряжения и

соответствую­щие им внутренние усилия в поперечных сечениях бруса (попе-реч­ные силы и крутящие момент) равны нулю; 2) растяжение каждого из воло-кон равномерное, т.е. в пределах волокна (и всего бру­са) ε _x= const, ε _y= ε _z= – ν ε _x= const; 3) физический закон – закон Гука для одноосного напряженного состояния; из него вытекает, что σ _х= const; как следствие, изгибающие момен-ты при совмеще­нии центра приведения с центром тяжести обращаются в нуль; 4) задана величина продольной силы N.

Для определения характеристик растянутого бруса ε _х, u и σ _х имеем зависимости:

,  ε _х= ∂u/∂х, σ _х= Еε_х.

За основное неизвестное, через которое выражаются ос­тальные искомые величины, целесообразно принять ε _x. Так как перемещение u – функция одной переменной х, то

ε _х= du/dx,

откуда

Предположим, что все волокна одинаково закреплены, т.е. имеют одинаковые начальные перемещения u (0). Из условия: при х = 0         u = u (0) следует, что С = u (0), и следовательно, имеем

u = ε _хх + u (0).

Удлинение бруса на участке 0– х равно

λ_x = ε _xx.

При х = l, где l – длина бруса, имеем

λ = ε _xl.

Интегральное уравнение при σ _x = const принимает вид

N = σ _x А,

откуда

σ _х = N/A.

Обращаясь к физическому закону, находим

ε _х= N/(ЕА)

и окончательные выражения для перемещений и удлинений:

u = (Nx)/(EA) + u (0 ), λ_x= (Nx)/(EА), λ = (Nl)/(EA).

При сжатии продольная сила N имеет отрицательное значе­ние.

Анализ полученного решения приводит к следующим выводам:

1. На основании статического граничного условия на торцах постоянное напряжение трансформируется в равномерно распределенную нагрузку Х_р= σ _х, которая и соответствует рассмотренной деформации чистого растяжения.

2. Напряжение σ _х прямо пропорционально N и обратно пропорционально А. Следовательно, при заданной продольной силе напряжение можно уменьшить, увеличив площадь поперечного сече­ния.

3. Удлинение бруса обратно пропорционально величине ЕА, называемой жесткостью при растяжении. Жесткость определяют модуль упругости и гео -метрическая характеристика сечения.