Поверочные и проектные расчеты

 

Смысл поверочного расчета по методу допускаемых напряже­ний состоит в сопоставлении фактических напряжений в опасном сечении бруса с допускаемыми:

.

 Здесь и в дальнейших поверочных и проектных расчетах внут­ренние усилия берутся по модулю. Это неравенство называется условием безопасной прочности при растяжении (сжатии).

Фактические напряжения не должны отклоняться от допускае­мых более, чем на 5%. Большее перенапряжение недопустимо с точ­ки зрения безопасной прочности, а недонапряжение приводит к пе­рерасходу материала.

Обратные задачи решаются при заданном допускаемом напряжении. В первом случае заданными считаются также размеры поперечного сечения, а определяется допускаемая продольная сила:

Во втором случае при известной нагрузке определяется пло­щадь поперечного сечения

после чего вычисляют его размеры. Если их количество больше единицы, необходимы дополнительные соотношения между ними (на­пример, отношение высоты прямоугольника к ширине).

Наиболее экономичным является брус равного сопротивления. Он имеет переменную по длине площадь поперечного сечения, по­добранную так, что напряжения во всех сечениях одинаковы: σ _x = σ _adm.

Возьмем брус, подверженный растяжению силой F и собственным весом (рис. 7.4). Площадь нижнего сече­ния А ₀ определяется из условия F/А ₀ = σ _adm:

A ₀ = F/ σ _adm.

Чтобы установить закон изменения площади сечения по высоте бруса, возьмем два смеж­ных сечения. Приращение площади dA (x) при переходе от одного сечения к другому дол­жно воспринять вес ρ gA (x) dx элемента бруса между сече-ниями при том же напряжении:

Рис. 7.4        

                                                           

откуда

После интегрирования получаем

Подставим значение А (х) = А_о       при х = 0:

l n А ₀ + С = 0, и С =– l n A ₀.

Окончательно

А (х) = A ₀exp[(ρ gx)/σ _adm ].

Криволинейность границы бруса удорожает его изготовление. На практике чаще применяют стержни ступенчатые или в виде усеченного конуса.

Приведенный проектный расчет является приближенным. Пред­полагалось, что по всему сечению бруса передаются только нор­мальные напряжения; на самом деле у краев сечения напряжения будут направлены по касательной к боковой поверхности.

Установлено, что формулу напряжений для бруса постоянного сечения можно применять с достаточной точностью для бруса пе­ременного сечения, если угол конусности α ≤ 12º.

Важно заметить, что, рассматривая условия безопасной проч­ности, мы не предполагали отклонения от определенной начальной формы равновесия стержня. Эта проблема будет рассматриваться в гл. 13.

Помимо условия прочности, требуется выполнение условия жесткости:

                                              N /(EA) ≤ ε _adm.

Решения обратных задач имеют вид:

N_adm ≤ EA ε _adm, A ≥ N /(E ε _adm),  E ≥ N /(A ε _adm).

Легко заметить, что первые две формулы в случае совпадения величин E ε _adm и σ _adm будут тождественны соответствующим форму­лам, полученным из условия прочности, а в случае несовпадения –отличаться на постоянный множитель. Третья формула определяет новый тип проектной задачи – подбор материала с необходимыми упругими свойствами.

При расчете по предельным состояниям вместоσ _adm принима­ются расчетныесопротивления растяжению(R_t) или сжатию (R_c).

                                              7.6 Практикум

Примеры

 

1. Для стального бруса (Е=2 МПа) построить эпюры продольных сил, нор-

мальных напряжений в поперечных сечениях бруса и перемещения этих сече-

ние.

Решение. Продольную силу в поперечном сечении определим проектируя внешние силы, приложенные справа от рассматриваемого сечения на ось бруса:

           N_DL=0; N_BC=60 кH;

           N_AB=60+120=180 кH.

По полученным значениям строим эпюру продольных сил N (рис.б)

В поперечных сечениях бруса воз-никают нормальные напряжения.

               σ_DL= =0;

   σ_CD= = = =

                                                                        =12 Па=120 МПа;

     σ_ВС= = = 50 МПа;        σ_АВ= = = 150 МПа.

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений σ (рис.в).

    Поперечные сечения бруса под действием внешних сил смещаются впра-во относительно неподвижного сечения А. Величина  смещения сечения, ра- положенного на расстоянии х от левого конца бруса равна деформации уча-стка длинной х:

                               на участке АВ при (0 )

_АВ= = =0.75

                              на участке ВС при (0 )

_ВС= =0.75 +

                               на участке АВ при (0 )

_CD= _ВС + =10³⁺ =

Участок DL не деформируется (N_DL=0, следовательно _DL=0), но пере-мещается в следствии деформаций участков, расположенных слева.

     Во всех полученных выражениях переменная х входит в первой степени, а следовательно зависимость между  и х линейная. Это позволяет по расчётным перемещениям сечений В, С, D, L построить эпюру перемещений  (в размерности мм).

 Поскольку _I= = =ε_i· х, то относительная продольная деформация ε_i на каждом участке представляет собой коэффициент, соответ-ствующий углу наклона эпюры  на каждом участке. Сравнивая эпюры σ и эпюры  можно наблюдать, что чем больше значения σ, тем круче линия эпюры  (при условии Е=const), а на участке DL – эпюра перемещений гори-зонтальна.

 

2. Для металлического бруса, находящегося под действием сил построена эпюра N продольных сил, возника-ющих в его сечениях. Произвести расчёт на прочность стержня в следующих случаях.

 2.1 Стержень изготовлен из плас-тичной стали:

σ_adm=160 МПа, F=40 кН. Подобрать площади поперечных сечений для каждого из участков.

Решение. Условие безопасной прочности σ =  σ_adm позволяет вычислить минимальную площадь поперечного сечения:

                   А₁ = = =12.5 см²;

                А₂ = 7.5 см²;                        А₃ = 5 см².

    Для второго участка, где N₂ <0 берём абсолютное значение силы 120 кН и делим на допускаемое напряжение σ_adm=160 МПа, которое для пластичных ма-

териалов имеет одинаковое значение и в случае растяжения, и в случае сжатия. Принимаем: А₁=12.5 см²; А₂=7.5 см²; А₃=5 см².

 

2.2 Стержень изготовлен из чугуна:

σ_admр=120 МПа; σ_admс=310 МПа; F=50 кН; А₁=25 см²; А₂ =; А₃=?

Проверить прочность стержня. Дать рекомендации по изменению поперечных сечений (рациональные сечения).

Решение. Определим напряжения на каждом участке

σ₁ = =10⁴ =100 МПа;    σ₂= = -300 МПа;

σ₃= = 125 МПа. Условия безопасности прочности на первом участ-ке σ₁=100 МПа 120 МПа = σ_adm выполняется, но площадь этого участка мож-но уменьшить до величины = 20.83 см³ (принимаем 21см²), тогда потребуется меньше материала для изготовления конструкции.

На втором участке σ₂= 310 МПа = σ_admс сравнивать необходимо абсолютную величину сжимающих напряжений. Условие прочности выполне-но, а недонапряжение  σ%= 100% 3.2%

   На третьем участке σ₃=125 МПа 120 МПа=σ_adm, и условие формально не выполняется. Однако перегрузка  σ%= 100% 4.2% не превышает 5%, что позволяет оставить площадь третьего участка А₃=8 см².

 

2.3 Стержень изготовлен из пластичной стали:

σ_adm=160 МПа; А₁=30 см²; А₂=15 см²; А₃=20 см². Определить допускаемое зна-чение нагрузки F.

Решение. Следует сравнить напряжения на каждом из трёх участков и из усло-вия безопасной прочности σ_мах= σ_adm, определить величину допускае-мой силы F.

σ ₁ = = 0.167 F;  σ ₂ = =0.2 F; σ ₃ = = 0.1 F.

На втором участке нормальные напряжения наибольшие по абсолютному зна-чению, поэтому, наибольшее значение силы F_мах.

  = ≤ 160 МПа = σ_adm     F_мах 160 =

=8·10⁴ Н = 80 кН. Допускаемая величина силы F_adm= 80 кН. При таком значении силы на втором участке нормальные напряжения равны σ_adm, а на первом и втором участке они соответственно составляют 83.5% и 50% от σ_adm.