Вопросы для повторения

 

1. Изложите гипотезу плоских сечений.
2. В чем заключается принцип Сен-Венана?

3. Как вычисляется значение продольной силы N в произвольном поперечном сечении бруса?

1. Что представляет собой эпюра продольных сил и как она строится?

5. Как распределены нормальные напряжения σ_х в поперечных сечениях центрального растянутого бруса и чему они равны?

6. В каких сечениях растянутого бруса возникают наибольшие нормальные напряжения?

1. Что называется жесткостью поперечного сечения при растяжении?

8. Как формулируется закон Гука? Запишите формулы абсолютной и относительной продольной деформации бруса?

1. Что представляют собой эпюра продольных перемещений?

10. Как учитывается собственный вес бруса в аналитическом выражении для продольной силы?

11. Как объяснить наличие множителя 1/2 в формуле удлинения вертикального бруса постоянного сечения от собственного веса?

1. В чем смысл и какова формула поверочного расчета?

13. Как назначаются допускаемые напряжения для пластичных и хрупких материалов?

1. Как выполняется проектировочный расчет?

15. Какие три характерных вида задач встречаются при расчете на прочность конструкции?

16. Почему считается возможным отклонение до 5% фактического напряжения от допустимого?

17. Почему необходимо выполнять условие жесткости? Приведите приме-ры.

18. При проведении расчета на прочность по предельным состояниям с чем сравнивают фактические напряжения?

 

 

Контрольные тесты

 

1. В поперечном сечении растянутого бруса возникают напряжения, которые называются …

1. Жесткостью поперечного сечения при растяжении называют …

3. Безопасная прочность бруса при растяжении определяется по формуле…

4. Допустимые напряжения для пластичных материалов определяют по формуле …

5. Допустимые напряжения при растяжении хрупких материалов определяют по формуле …

6. Опасным поперечным сечением бруса является сечение, в котором действуют наибольшие …

7. Центральным растяжением называют такой вид деформации, при котором в поперечном сечении возникает только одно внутреннее усилие - …

8. С увеличением жесткости поперечного сечения бруса абсолютное удлинение …

9. Площадь поперечного сечения бруса из условия безопасной прочности при растяжении определяется по формуле …

10. Значение продольной силы в поперечном сечении бруса вычисляют из условия …

1. Напряжения в системе СИ имеют размерность …
2. Удлинение растянутого стержня определяется по формуле …
3. При поверочном расчете сравнивают …

 

1. При проектировочном расчете определяют …
2. Условие жесткости при растяжении определяется выражением …

16. Отличие расчета на прочность по предельным состояниям от расчета по допустимым напряжениям состоит в …

 

СДВИГ

                                         8.1 Основные положения

 

Исследуя в п.4.2 плоское напряженное состояние, мы уста­новили, что если главные напряжения равны по величине и проти­воположны по знаку, то площадки, наклоненные к главным под уг­лом 45°, являются площадками чистого сдвига (рис. 8.1).

Чистый сдвиг прямоугольного призматического бруса вызыва­ется поперечными силами по четырем его граням. На рис. 8.2 показан чистый сдвиг в плоскости ху. Зададим следующие условия: 1) отсутствуют линейные деформации, а следовательно, нормальные напряжения и соответствующие им внутренние усилия в поперечных сечениях бруса (продольная сила и изгибающие моменты); 2) отсу­тствует деформация сдвига γ _zx, а следовательно, τ _zx =τ _xz = 0, Q_z = 0; 3) сечение остается плоским, т.е. γ _xy = const; 4) физи­ческий закон − закон Гука при сдвиге; из него вытекает, что τ _yx = τ _xy = const; как следствие, крутящий момент при совмещении центра приведения с центром тяжести обращается в нуль; 5) задана величина поперечной силы Q_y.

                     Рис. 8.1                                     Рис. 8.2

 

Для определения напряжений, деформаций и перемещений привлекаем зависимости по трем законам деформирования для τ _xy и γ _xy:

γ _xy = ∂u/∂y+∂v/∂x, τ _xy = G γ _xy.

За основное неизвестное принимаем деформацию сдвига γ _xy. При малых величинах γ _xy можно пренебречь перемещениями v и принять γ_xy = ∂u/∂y. Так как u – функция одной переменной у, то

γ _xy=du/dy,

 откуда

 Из условия неподвижности нижней грани (u = 0 при y = 0) вытекает С = 0, и следовательно,

u = γ _xyy.

Интегральное уравнение при τ _xy = const принимает вид

Q_y = τ _xy A,

откуда

τ _xy = Q_y /A.

Обращаясь к физическому закону, находим

γ _xy = Q_y / (GA),

и окончательное выражение для перемещений

u = (Q_yy) / (GA).

Анализируя полученное решение, проведем некоторые парал­лели между сдвигом и растяжением (сжатием):

1. На торцах на основании статического граничного условия постоянное напряжение трансформируется в равномерно распределенную нагрузку Y_P = τ _xy, которая и соответствует рассмотренной деформации чистого сдвига. На основании свойства парности касательных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площа­дкам на соответствующих продольных гранях также имеет место равномерно распределенная нагрузка Х_P = τ _yx = τ _xy (в этом отли­чие сдвига от растяжения). Равнодействующие Q_x и Q_y связаны между собой соотношением Q_y / Q_x=h / l.

2. Напряжение τ _xy прямо пропорционально Q_y и обратно пропорционально А. Следовательно, при заданной поперечной силе напряжение можно уменьшить путем увеличения площади поперечно­го сечения.

3. Деформация сдвига обратно пропорциональна величине GA, называемой жесткостью при сдвиге.

                    

     8.2. Практические расчёты соединений, работающих на сдвиг.

Для многих соединений, таких как сварные, болтовые заклёпочные, работающих в сложных напряжённых состояниях оценка работоспособности может быть проведена простыми, но довольно надёжными расчё-тами на сдвиг.

Изучив начальную стадию разрушения
заклёпочного соединения (рис 8.3) можно                                                                           

                  Рис. 8.3                    наблюдать, что происходит срез тела заклё-

пки по плоскостям соприкосновения листов. Количество площадок среза n наединицу меньше числа соединяемых листов и пропорционально суммарному числу заклёпок в соединении k.

                                  А_ср= , где d – диаметрзаклёпки.

Условия безопасности прочности

                                       ,

если расчёт ведём по допускаемым напряжениям. При расчёте по предельным состояниям действующие напряжения среза τ сравнивают с расчётным сопротивлением материала заклёпки на срез R_ср. Так выполняют поверочный расчёт. При проектировании заклёпочного соединения диаметр заклёпки назначают, ориентируясь на толщину соединяемых пластин и из условия прочности определяют минимально возможное число заклёпок

                              

В заклёпочном соединении может происходить смятие отверстий листов по поверхности контакта. Это особенно важно при проектировании герметич-ных сосудов. В этом случае дополнительно выполняют проверку на смятие. До-полнительно следует проверить на растяжение и полосу, ослабленную отвер-стиями.

Расчёт болтовых соединений производят в том же порядке. Расчёт высо-копрочных болтов осуществляют из условия затяжки соединения необходимым моментом затяжки, обеспечивающим требуемое усилие на контактирующих поверхностях обжимаемых листов, на которых возникающие силы трения и во-спринимают срезающие усилия. Высокопрочный болт работает только на рас-тяжение. Площадь его поперечного сечения назначается из условия безо-пасной прочности на растяжение.

Сварные соединения менее трудоёмки в исполнении, не приводят к ос-лаблениям элементов, более экономичны. Сварные соединения, как и заклёпоч-ные, условно рассчитывают в предположении равномерного распределения напряжений по сечению шва.

 

Если сварное соединение довести до разрушения, то наплавленный мате-риал останется на обеих частях пластин (рис. 8.4 а).

                                     Рис. 8.4

Срез происходит по площадке m-m, площадке наименьшего сечения, размер которого составляет h  0.7 h, где h – высота катета углового шва. Ус-ловие безопасной прочности запишем в виде

                                  ,

где:      R_ср – расчётное сопротивление материала сварного шва на срез;

             l _шва – расчётная длина шва (в нашем случае l _шва=2 l).

Для случая когда дополнительно осуществить и сварку по торцу (лобовой шов) длиной b, l _шва=2 l +b.

При проектировании соединения (рис. 8.5), называемого врубкой, следу-ет подобрать размеры площади abcd из условия безопасной прочности матери-ала на скол (срез), а размеры площади cefb – из условия прочности на смятие (сжатие) от действия горизонтальной составляющей силы F.

 

                  Рис. 8.5

                                                8.3 Практикум

Примеры

 

1.Определить необходимое число заклёпок диаметром 1,2см для соединения “внахлёст” двух пластин толщиной 0,8см и шириной 10см, если известно, что нормальные напряжения в растянутой полосе σ =150МПа и τ_adm=100МПа.

Решение. Если в растянутой пластине напряжения известны, то вызывавшая их сила N=σ =150МПа =1.5 =120кН.

Эта сила будет срезающей для односрезных заклёпок, число которых:

                         k =10.6

Число заклёпок для обеспечения безопасной прочности соединения должно быть не менее 11 шт.

 

2. Найти необходимую длину фланговых швов, соединяющих равнополочный уголок 63 с пластиной если действующее срезающее усилие F=65кН, приняв R_ср=96 МПа.

Решение. Условия безопасной прочности имеет вид:

МПа (где h = 0.5см - толщина полки уголка)

                           l _шв =19.5см.

Для обеспечения одинаковой работы левого и правого швов длины провара следует выбрать обратными расстояниям до центра тяжести сечения уголка от левого и правого шва

тогда l _лев=14см, l _пр=5.5см.

 

 

3. Две тяги соединены штырём, вставленным в проушины, и нагружены силой F=150кH. Определить действительный запас прочности, если: σ_у=230МПа; τ_у=180МПа.

 

Решение. Определим действующие напряжения среза в штыре

 

                        

 

Запас прочности по касательным напряже-ниям    

Определим действующие нормальные напря-жения в ослабленном сечении правой пласти-ны (т.к. суммарная толщина двух левых боль-ше и там напряжения меньше)       

. 

 Запас прочности по нормальным напряжениям . Решением является 1.53 - меньший из двух.

 

4. Пуансон диаметром 2см прошивает отверстие в стальной пластине толщиной 0.6см с усилием 130кН. Определить касательные напряжения в пластине и нор-мальные сжимающие напряжения в пуансоне.

Решение. Площадь среза представляет собой цилиндрическую поверхность ди-аметром 2см и высотой 0.6см.          А_ср= π  

                   

 Напряжение в пуансоне