Напряженно-деформированное состояние круглого бруса

Для чистого кручения круглого цилиндрического бруса зада­ются следующие условия (используем цилиндрическую систему ко­ординат, см.рис.9.2): 1) в плоскости, касательной к цилин­дрической поверхности, имеет место чистый сдвиг (γ _{x θ}= const); 2) отсутствуют линейные деформации (ε _х = ε_ρ = ε_θ = 0), а следова­тельно, и нормальные напряжения и соответствующие им внутрен­ние усилия в поперечных сечениях бруса (продольная сила и из­гибающие моменты); 3) кривизна кручения в точках поперечного сечения сохраняет постоянное значение; 4) физический закон – закон Гука при сдвиге; 5) задан крутящий момент Т, Q_y = Q_x = 0. При заданных условиях по всей длине бруса соблюдается симмет­рия относительно оси х (осевая, круговая), заключающаяся в том, что при обходе в каждом сечении по дуге окружности угол сдвига γ _{x θ} не меняет величину и направление. Значит, в точке ρ = 0 имеем γ _{x θ} = 0, τ _{x θ} = 0.

Для определения характеристик скручиваемого бруса k_t, γ _{x θ,}τ _{x θ} и  привлекаем зависимости по трем законам деформиро­вания:

За основное неизвестное принимаем k_t. На основании двух последних зависимостей получаем τ_{θ x} = G γ_{θ x} = Gk_t ρ. По закону па­рности касательных напряжений τ _{х θ} = τ_{θ x} = Gk_t ρ. Подставим это значение в интегральную формулу

,

откуда

k_t = T /(GI_Р).

Следовательно,

γ _{x θ}= (T ρ)/(GI_Р),   τ_{х θ} = (T ρ)/ I_Р.

Наибольшее напряжение (на контуре сечения) равно

τ _{мах х Kt} = (Тr)/ I_Р = T/W_Р,

где W_Р - полярный момент сопротивления кругового сечения,

W_Р = (π r³)/2.

Дифференциальное уравнение углов закручивания имеет вид

d / dx = T /(GI_P).

 Его интеграл

= ∫[ T /(GI_P)] dx + С = (Tx)/(GI_P) + С.

Из условия: при х = 0,  = (0) следует, что С = (0), и сле­довательно,

  = (Tx)/(GI_ρ) + (0).

Анализ полученного решения приводит к следующим выводам:

1. Кривизна кручения остается постоянной по длине бруса.

2. Напряжения τ _{х θ} не меняют своего закона по длине бруса и являются функцией только координаты ρ. На торцах на основании статического граничного условия они трансформируются в распределенную линейно вдоль радиусов нагрузку, которая и соответствует рассмотренной деформации.

3. Кривизна кручения и деформация сдвига пропорциональны величине GI_P, называемой жесткостью при кручении.