Плоский изгиб волокна

Рассмотрим волокно ab, параллельное оси х. В результате изгиба прямое волокно искривляется (рис.10.1, а). Изгиб волокна сопровождается попереч-ными перемещениями (прогиба-ми) v и углами поворота (девиа-циями) его линейных элемен-тов. Углы – углы наклона каса-тельных к искривленному волок-ну.

При малых перемещениях длина хорды волокна l ₁ мало

Рис. 10.1 отличается от первоначальной длины волокна l. Поэтому можно принять l ₁= l, т.е. пренебречь продольными перемещениями u (рис.10.1, б). В то же время длина искривленного волокна считается равной длине первоначального прямолинейного волокна.

В пределах малых перемещений допустимо считать ≈tg и принять = dv / dx.

Поперечные сечения волокна сохраняют прямые углы с касательными к оси волокна после его деформирования. Поэтому углы характеризуют в то же время повороты поперечных сечений. Вследствие их неодинаковости образуются взаимные повороты с углами . Отношение к отрезку кривой ∆s между сечениями определяет среднюю кривизну изгиба в точке

k_xm = ∆ /∆s.

При малых углах поворота (∆s ≈ ∆x)

k_xm = ∆ /∆x.

Устремляя ∆s и ∆x к нулю, в пределе получаем

k_x= d /ds и k_x= d /dx

(точное и приближенное значения кривизны изгиба в точке).

Очевидно, что

Имеется другое определение кривизны: k_x= 1 / ρ – 1 /r ₀, где r ₀(ρ) – радиус кривизны до (после) деформирования волокна. Для прямого волокна r ₀ = ∞ и k_x= 1/ρ.

Из дифференциальной геометрии известно, что

При малых углах поворота ( = dv/dx) величиной (dv/dx)² можно пренебречь по сравнению с единицей. Тогда

1/ρ ≈ d ² v/dx ².

Итак, формула k_x = d ² v/dx ² дает приближенное значение кривизны при изгибе.

Величины v, и k_x характеризуют изгиб волокна. Если за основную величину принять k_x, то другие характеристики можно получить с помощью интегрирования:

или

C ₁ и C ₂ находятся из граничных условий для прогибов и углов поворота. Их смысл легко обнаружить, если положить k_x = 0. Тогда С ₂ +C ₁ x – уравнение прямой линии, в котором С ₂ – поперечное поступательное перемещение линии, а С ₁ – ее поворот.

Установим связь между характеристиками изгиба волокна и компонентами деформации в точке. Рассмотрим изгиб волокна, параллельного оси х, с бесконечно малым поперечным сечением dz x dy (рис. 10.3). Пусть в точке С линейная деформация равна ε _x, а в точке А – ε _x+(∂ ε _x / ∂у)dу.