Удар по конструкции горизонтально движущимся телом

Рассмотрим теперь удар по конструкции горизонтально движущимся со скоростью телом с массой M (рис. 15.46).

В этом случае

А) б)

Рис. 15.46

 

Закон движения:

представлен на рис. 15.46, б.

Зная можно всегда найти в упругой системе возникающие динамические напряжения.

 

Продольные колебания стержня

Перейдем теперь к изучению колебаний упругих систем с непрерывно распределенной массой, т.е. к системам с бесконечным числом степеней свободы. Простейшим примером такой системы является однородный стержень (рис. 15.47), в котором возбуждены продольные колебания, например, ударом по его концу.

Рис. 15.47

 

Пусть - плотность материала. Тогда масса элемента стержня длиной d z равна:

Осевое перемещение сечения:

w=w (z, t)

является функцией двух аргументов – координаты произвольного сечения x и времени t.

Используя принцип Даламбера, напишем уравнение движения элемента стержня:

или, с учётом (15.149),

Поскольку

то, исключив с помощью (15.151) из (15.150) усилие N, находим уравнение:

где

Уравнение (15.152) называется волновым уравнением. Оно описывает динамические процессы в стержне, такие как распространение волн и колебания. Величина называется скоростью распространения упругой волны. Для стали c= 4900 м/с, для алюминия c = 5100 м/с.

Решение уравнения (15.152) ищем в виде:

Подставляя (15.154) в (15.152), получим:

или, после разделения переменных:

откуда для функций T(t), Z(z) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения:

Общий интеграл уравнения (15.156):

откуда видно, что - это круговая частота свободных колебаний.

Общий интеграл уравнения (15.157) имеет вид:

Постоянные находятся из граничных условий на концах стержня.

Пусть, например, стержень закреплен неподвижно на нижнем конце и свободен на верхнем (рис.15.48, а).

А) б)

Рис. 15.48

 

При Z =0 имеем W =0, а при Z=l имеем

Тогда получаем:

Если , то колебания отсутствуют. Если , то и тогда:

Стержень имеет бесконечное множество частот собственных колебаний. Низшая частота или частота основного тона имеет место при n=1:

Рассмотрим теперь колебания стержня, у которого один конец защемлён, а другой несет груз массы M (рис.15.48, б). На закрепленном конце при Z=0 по-прежнему имеем Z=0, из (15.159) следует .

На свободном конце с прикрепленной массой M на основании принципа Даламбера имеем:

или с учетом (15.104), (15.156):

Подставляя (15.159) при в граничное условие (15.164), находим:

Если , никаких колебаний нет. Если то колебания есть. Для удовлетворения условия (15.165) следует приравнять нулю квадратную скобку. В результате находим:

где через обозначена масса стержня. Решение уравнения (15.166) можно найти графически (рис. 15.49). Для этого необходимо найти точки пересечения двух функций:

Рис. 15.49

 

При малых частотах, когда - малая величина, уравнение (15.166) упрощается:

откуда следует:

Этот результат соответствует задаче, когда массой стержня m можно пренебречь по сравнению с массой M груза.

Чтобы приближенно учесть массу стержня, удержим в разложении в уравнении (15.166) два слагаемых:

Тогда получим:

откуда

При больших значениях гипербола проходит близко к оси абсцисс, а точка пересечения с тангенсоидой мало отличается от Следовательно,

 Тема: Механические передачи

Механическая передача – механизм, превращающий кинематические (n) и энергетические параметры (P) двигателя в необходимые параметры движения рабочих органов машин и предназначенный для согласования режима работы двигателя с режимом работы исполнительных органов.

 

Двигатели работают в узком диапазоне частот вращения и моментов, рабочие машины - в широком.