Понятие в математической логике

Как мы уже знаем, в математической логике не рассматривается суждение, как форма мысли; оно сводится к предложению или к отношению предметов («суждение отношения»). То же можно сказать и о понятии. Форма мысли, как таковая (как это было отмечено и выше) непонятна для математической логики. Лукасевич прямо говорит, что он не понимает, что называется формой мысли, поскольку мысль не имеет фигуры[141]. Для него мышление есть только психологическое явление. Он не видит объективной мысли, т.е. логического.

Нечто, соответствующее понятию, рассматривается в математической логике в исчислении предикатов, в частности, в исчислении классов. Исчисление предикатов есть та часть математической логики, где применяется разделение суждения на субъект и предикат, тогда как в исчислении предложений такого разделения нет. Разделение суждения необходимо для установления связи между посылками и заключением (математическая логика окончательно приходит к отрицанию субъекта суждения и сводит его к предикату).

Понятию соответствует класс. Существует и пустой класс, т.е. такой, котором нет ни одного элемента, например, бог, амазонка и т. д. Если для суждения характерно утверждение и отрицание, истинность и ложность, то для понятия это не характерно.

Для понимания того, каков смысл понятия в математической логике, надо исходить из природы вышеназванных «суждений», именно из общих, частных и единичных «суждений». Возьмем эти суждения в виде следующего примера и в следующей форме: 1) единичное предложение — «этот человек смертен», 2) предложение существования — «существует такой X, когда х смертен» — Ех (х смертен), 3) общее предложение — «для каждого х правильно, что х смертен — Ах (х смертен). В скобках помещена пропозициональная функция, которая ни истинна, ни ложна: она станет такой, если перед ней будут помещены кванторы или х получит определенное — единичное значение. Единичное предложение, составленное пропозициональной функцией, будет истинным, если значение переменного х есть элемент класса, который соответствует понятию «смертен». Частное предложение является истинным, если класс, соответствующий понятию «смертен», содержит в себе элементы, т.е. если не пуст. Общее предложение истинно только тогда, когда класс, соответствующий понятию «смертен», содержит все предметы. Отсюда заключают, что понятие в математической логике есть пропозициональная функция.

Эта мысль не должна быть верной уже вследствие того простого обстоятельства, что понятие не может иметь форму пропозициональной функции и содержать переменное. Отождествление понятия с пропозициональной функцией означает изъятие понятия, как самостоятельной формы смысли, из логики, допущение чего невозможно. Пропозициональная функция есть схема, а не мысль, понятие же представляет собой совершенно определенную мысль, определенную форму мысли, которая должна изучаться логикой.

Сама мысль «понятие есть пропозициональная функция — схема», тоже не может быть схемой. Поэтому понятие не есть схема, пропозициональная функция.

Понятие и категория

Каждая категория есть понятие, но не наоборот — не каждое понятие есть категория, т.е. категориями являются только некоторые понятия. Категория есть мысль о наиобщей стороне действительности. Здесь понятие действительности охватывает все существующее, в частности и мысль. Философская категория (мы говорим здесь только об этой категории) абсолютно всеобща. Категория касается всего; например, категория существования касается всего, существуют как вещи так и мысли. Всеобща также и категория сущности, поскольку все существующее имеет сущность, — то, что она есть. Наиобще и качество, поскольку все имеет качество, именно то, что это есть, а не другое; таково же количество; каждая вещь имеет количественную сторону, внешнюю для нее, но необходимую сторону. И объем понятия есть множество определенного вида, есть совокупность элементов, которая подразумевается в понятии. Закон тоже является одной из категорий, поскольку везде существуют необходимые, внутренние и общие связи явлений. То же относится и к другим философским категориям, но этого нельзя сказать о других понятиях. Категория не имеет рода. Нет более высокого, более общего количества чем «просто» количество. Нет и качества более общего чем качество (что нечто есть это, а не другое). Невозможно более общее понятие сущности чем понятие сущности и т. д. Во взаимосвязи категорий есть один аспект, где предусматривается объем и где, поэтому, различают друг от друга род и вид; например, понятие категории есть род всех категорий. Какая-нибудь категория может быть более общей, чем другие категории, например, есть множество категорий сущности (категории тождества противоречия, закона и другие); так же, бытие есть одна категория, но существуют категории бытия: количество, качество, мера; и наиобщая сторона какой-нибудь категории может быть категорией: но это общность содержательная, а не объемная.

Как было сказано и выше, нет у категории и видов. Например, нет более частного количества чем количество, более частной сущности, чем сущность, более частного закона, чем закон, более частной, необходимости, чем необходимость (поэтому, необходимость и не имеет степеней); если бы какая-нибудь категория имела виды, то, как было уже сказано, одна категория, вместе с тем, была бы не одной, а множеством, что невозможно. Какая-нибудь категория логически не может быть больше одной.

Существуют не виды категорий, а их формы, их конкретизация в той или иной сфере. В различных сферах категория проявляется различным образом. Но сама категория везде одна и та же. Например, существует категория необходимости, хотя историческая необходимость и логическая необходимость различаются друг от друга. Можно сказать, что историческая и логическая необходимость суть «виды» понятия необходимости, но необходимость, как категория, только одна. Категория, взятая в объемном аспекте, будет уже понятием, которое взято не в категориальном смысле. Рассмотрение «видов» необходимости не касается необходимости как категории. Таким образом, какая-нибудь категория может быть рассмотрена в аспекте обычного — формально-логического — понятия, именно, в аспекте объема понятия. Но это не будет категорией, как таковой, которая не входит в сферу формальной логики.

Какая-нибудь философская категория может иметь стороны, моменты, которые сами будут категориями, входящими в первую категорию. Такие моменты, как категории, не являются видами той категории, моментами которой они являются. Таковы, например, категории сущности, бытия и др. названные выше. Например, в категорию бытия входит количество, как одна ее сторона, но род количества не есть бытие. Род количества может быть только количеством, а не чем-то другим; но, как было сказано, нет более общего количества чем категория количества; это относится и к другим категориям.

Категория может быть формой необходимой связи, например, мера есть форма связи качества и количества; но не каждая категория есть форма связи: существуют и такие категории, которые не являются формами связи. Например, явление и случайность представляют собой категории, но они не являются формами связи.

Существуют такие категории — понятия, отражающие наиобщую сторону действительности — устранение которых в мышлении логически, невозможно; они для него необходимы. Это такие категории, которые пригодны как объективные правила — средства для мысли. Это категории логического, рассмотренные выше. Как мы уже знаем, категорий логического больше, чем тех, которые являются и онтологическими категориями. Существуют и категории только логического (понятие, суждение, умозаключение). Мы знаем и то, что друг от друга отличаются логические категории и категории логического. Обычными формально-логический являются понятия, которые подчиняются логическим категориям и категориям логического. Следовательно, существует три вида понятий, два из которых являются категориями. Понятие, как род, подчиняет категории, как особенные понятия, но категории, как содержательные общности и как формы логического, своеобразно подчиняют себе всякие понятия.

Категории в логику впервые внес Кант; у Аристотеля, и до Канта, категории рассматривались, главным образом, как понятия онтологии. Например, в метафизике Аристотеля рассмотрены категорий: сущности, общего, материи, формы, возможности, действительности и др.; в его физике рассматриваются категории времени, пространства, движения и др. Кант впервые понял категорию, как логическую форму. Для него понятия рассудка являются категориями, т.е. формами суждения. Категории (единство, множество, всеобщность, субстанция, причинность, взаимоотношение, возможность, действительность и необходимость) представляют собой трансцендентальные, своеобразные логические условия суждений. Невозможно суждение без категорий. Категории суть правила, поэтому характерная для них общность есть общность правила, а не общность объемного характера. Кант ввел категории не в «общую» — формальную — а в «трансцендентальную логику», в теоретико-познавательную логику, в ту логику, которая то же самое, что и теория познания, и наоборот. Учение о категориях, как о логических формах, получило развитие у Фихте и Гегеля, которые поняли логику, как систему категорий.