Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов основан на применении первого закона Кирхгофа.

Метод узловых потенциалов целесообразно применять, когда число узлов в схеме без единицы меньше числа независимых контуров. Если число узлов обозначить n, а число независимых контуров К, то условием целесообразности применения будет неравенство

n – 1 < K.

Токораспределение в схеме не изменится, если потенциал одного из узлов принять равным нулю. Говорят, что узел с потенциалом φ=0 «заземлен» или подключен к «земле». Такой узел ещетназывают базисным.

Таким образом, любой один узел (но только один) можно заземлить, уменьшив тем самым на один число узлов и, соответственно, требуемое число уравнений системы для определения потенциалов в узлах схемы.

Рационально заземлять узел, в котором сходится наибольшее число ветвей. В этом случае упрощаются выражения, описывающие собственные проводимости оставшихся узлов.

Вспомним, что проводимостью называется величина, обратная сопротивлению

Единицей проводимости является Сименс (См).

Собственной проводимостью узла называют сумму проводимостей всех ветвей, сходящихся в этот узел. Обозначим собственную проводимость i -го узла G_i.

Проводимость ветвей между i -м и j -м узлами называют общей проводимостью между i -м и j -м узлами. Обозначим ее G_ij.

Пронумеруем узлы числами 0, 1, 2, 3, … Узел с номером 0 заземлен. Для нахождения потентциалов в остальных узлах необходимо составить n -1 уравнений.

Правила составления уравнений следующие.

1. В левой части уравнения пишут сумму всех произведений потенциалов каждого узла на соответствующую проводимость, причем потенциал φ _i i -го узла умножается на собственную проводимость G_i и это произведение берут со знаком «+», а потенциалы φ _j любого j -го узла из оставшихся узлов умножают на общую проводимость G_ij между i -м и j -м узлами и эти произведения берут со знаком «–».

ВНИМАНИЕ! Если к узлу подходит ветвь с источником тока, то проводимость этой ветви в расчете собственной проводимости узла не участвует.

2. В правой части уравнения пишут сумму алгебраической суммы токов источников тока в ветвях, примыкающих к i -му узлу, и алгебраической суммы произведений ЭДС источников напряжения, имеющихся в ветви, примыкающей к узлу, на проводимость этой ветви. Есди ЭДС источника напряжения или ток источника тока направлены к узлу, то слагаемые берутся со знаком «+», если от узла, то со знаком «–».

Если в какой-либо ветви схемы нет источника напряжения или тока, то такая ветвь исключается из процесса формирования правой части уравнения.

В качестве примера составим систему уравнений для расчета методом узловых потенциалов схемы с четырьмя узлами, т.е. n =4. Один узел будет заземлен, для оставшихся трех узлов требуется составить три уравнения:

, (4.5)

где означает, что учитываются все ветви, подходящие к i -му узлу, при условии, что в них есть источники ЭДС или тока.

Систему (4.5) решают относительно потенциалов φ _i каждого узла.

Токи в ветвях, расположенных меду i -м узлом и «землей» определяют по закону Ома, разделив разность потенциала i -го узла φ _i и алгебраической суммы ЭДС источников напряжения, имеющихся в ветви, на сумму сопротивлений в этой ветви:

. (4.6)

За положительное направление тока принимают направление от узла к «земле». Если при расчете по (4.6) получили значение тока со знаком «–», то это значит, что в реальной схеме ток течет в противоположном направлении.

Ток в ветви, расположенной меду i -м и j -м узлами тоже определяют по закону Ома, разделив разность потенциалов между узлами на суммарное сопротивление ветви:

. (4.7)