Расчет токов в электрической цепи на основе совместного использования первого и второго законов Кирхгофа

Обозначим общее число ветвей схемы через v, число ветвей, содержащих источники тока, – через v_ИТ, а число узлов – через у. В каждой ветви течет свой ток. Токи в ветвях с источниками тока известны (они равны токам источников токов), поэтому число неизвестных токов равно v – v_ИТ. Для определения этих неизвестных необходимо составить v – v_ИТ независимых уравнений.

Прежде чем составлять уравнения, необходимо:

1) произвольно выбрать положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме;

2) выбрать положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа. Для единообразия целесообразно для всех контуров выбрать одинаковое направление, например, по часовой стрелке.

Число независимых переменных (токи в ветвях, которые надо определить) равно, как было отмечено выше,   v – v_ИТ. Для нахождения их значений необходимо составить N = v – v_ИТ линейно независимых уравнений.

При составлении уравнений необходимо следовать следующим правилам.

1. По первому закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу узлов минус один, т.е. N ₁ = у – 1.

2. Остальные N ₂ = N – N ₁ уравнений составляют по второму закону Кирхгофа. В этих уравнениях не должно быть ветвей, содержащих источники тока.

3. При составлении уравнений необходимо охватить все ветви схемы, не содержащие источники тока. При этом надо, чтобы в каждый новый контур, для которого составляется уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь,т не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения пот второму закону Кирхгофа. Такие контуры называют независимыми.

Пример расчета токов в ветвях электрической цепи на основе совместного использования первого и второго законов Кирхгофа.

Рассмотрим электическую схему, показанную на рисунке 4.1.

 

Рисунок 4.1 – Пример электрической цепи с различными источниками энергии

 

В цепи три узла (у =3) и пять ветвей. Ветвь с источником тока I в составлении уравнений по второму закону Кирхгофа участвовать не должна. Таким образом, число ветвей, участующих в составлении уравнений по второму закону Кирхгофа N =4.

Необходимо найти значения токов во всех ветвях схемы: i ₁, i ₂, i ₃, i ₄, i ₅. Ток i ₁ равен току источника тока I. Для нахождения остальных токов потребуется составить четыре линейно независимых уравнения.

В соответствии с правилом 1 составляет два уравнения по первому закону Кирхгофа. Для составления этих уравнений используем узлы «1» и «2».

Оставшиеся два уравнения составим по второму закону Кирхгофа. В качестве первого контура для составления уравнения выберем контур E ₁ R ₂ R ₃ R ₄ E ₂. Для этого контура получим следующе уравнение

.

Второй контур должен содержать хотя бы одну ветвь, не вошедшую в первый контур. Этому условию соответствует контур E ₂ R ₄ R ₅. Для этого контура получим уравнение

.

Таким образом, получили систему четырех уравнений, достаточных для определения четырех неизвестных токов

.                   (4.1)

Из решения этой системы получим:

,

.

 

Вычислив значения токов i ₂ и i ₄, значения токов i ₃ и i ₅ определим соответственно из первого и второго уравнений системы.

Вычислим значения токов в ветвях схемы при следующих исходных данных:

I =1 А, Е ₁=10 В, Е ₂=5 В, R ₂=10 Ом, R ₃=20 Ом, R ₄=40 Ом, R ₅=50 Ом.

Сопрротивление R ₁ включено только в ветвь с источником тока I, поэтому не влияет на значения токов в других ветвях. Для определенности схемы примем R ₁=10 Ом.

Получаются следующие значения токов:

i ₂= – 0.67 А, i ₃= 0.33 А, i ₄= – 0.128 А, i ₅= 0.202 А.

Знаки «минус» у токов i ₂ и i ₄ означает, что на самом деле эти токи текут в противоположных направлениях по сравнению с обозначениями на схеме (рисунок 3.5). Таким образом, токи i ₂, i ₄ и i ₅ втекают в узел «0». Их сумма в соответствии с первым законом Кирхгофа должна раиняться вытекающему из узла «0» току I. Проверим это:

  i ₂ + i ₄ + i ₅ = 0.67 А+0.128 А+0.202 А = 1 А.

Таким образом, расчет значений токов в ветвях схемы выполнен правильно.

Однако, как следует из приведенных формул, расчета токов в ветвях схемы на основе уравнений первого и второго законов Кирхгофа чрезвычайно громоздкий, требует повышенного внимания при выполнении преобразований.

Современные информационные технологии позволяют исключить человеческий фактор из процесса расчета значений токов.

Например, в известном вам пакете Mathcad имеется встроенная функция для решения системы уравнений. Пример применения этой функции показан на рисунке 4.2.

Сначала надо задать начальные значения токов, от которых начнется поиск решения. Например, i ₂=1, i ₃=1, i ₄=1, i ₅=1. Затем словом Given дают указание, что далее следует система уравнений. Вывод результатов осуществляется функцией Find. Аргументами функции являются переменные, относительно которых решается система уравнений.

 

Рисунок 4.2 – Применение пакета Mathcad для расчета токов в ветвях электрической схемы

В результате решения системы уравнений в пакете Mathcad получим те же значения токов, какие мы получили при ручном расчете.

Систему уравнений (4.1) можно представить в матричном виде

,                                (4.2)

где [ i ] – вектор неизвестных токов, которые надо определить,

[ R ] – матрица коэффициентов при токах в системе (4.1),

[ E ] – вектор источников электрической энергии, присутствующих в соответствующнем уравнении.

Для системы уравнений (4.1) с имеем:

		1 -1 0 0 0 1 1 -1 R2 R3 - R4 0 0 0 R4 R5
	[ R ]=

С использованием матричных операций пакета Mathcad вектор значений тока в ветвях схемы определяется как произведение обратной матрицы [ R ^-1] на вектор источников электрической энергии:

.                            (4.3)

Решение (4.3) для рассмотренных в примере исходных данных дает тот же результат: i ₂= –0.67 А, i ₃= 0.33 А, i ₄= –0.128 А, i ₅= 0.202 А.

Знак минус указывает на то, что на самом деле ток в ветви течет в направлении, противоположном принятому на схеме.