Примеры решения контрольных задач

1. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону j = -2t² + 20t + 5 рад. Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r=0,1 м от оси вращения, для момента времени t=4 c.

Дано: j = -2t² + 20t + 5 рад, r=0,1 м, t=4 c.

Найти: a.

Решение. Полное ускорение  точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как сумма тангенциального  ускорения, направленного по касательной к траектории, и нормального  ускорения, направленного перпендикулярно траектории:

.

Так как векторы  и  взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения

                                      (1)

Модули тангенциального и нормального ускорений точки вращающейся вокруг неподвижной оси тела определятся формулами

a_t=εr, a_n=ω²r,

где ω – модуль угловой скорости тела, ε – модуль углового ускорения.

Подставляя эти выражения в формулу (1), находим

                                       (2)

Угловую скорость ω найдем, взяв первую производную угла поворота по времени:

.

В момент времени t=4 c модуль угловой скорости ω=-4·4+20=4 рад/с.

Угловое ускорение ε найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

 рад/с².

Подставляя значения ω, ε и r в формулу (2) получаем

 м/с².

Ответ: a= 1,65м/с².

 

2. На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол , и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Дано: m ₁ = 0,5 кг, m ₂ = l кг, α = 60°, l = 0,8 м.

Найти: h ₁; Δ E _g.

Решение. Так как удар шаров неупругий, то после удара шары будут двигаться с общей скоростью v. Закон сохранения импульса при этом ударе имеет вид

                       (1)

Здесь  и  – скорости шаров до удара. Скорость большого шара до удара равна нулю ( = 0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол α (см. рис. 1) ему сообщается потенциальная энергия, которая затем переходит в кинетическую .

.

Поэтому

.                           (2)

Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:

.             (3)

Кинетическая энергия, которой обладают шары после удара, переходит в потенциальную:

    ,                          (4)

где h – высота поднятия шаров после столкновения. Из формулы (4) находим . Тогда с учетом (3) получим

; .

При неупругом ударе шаров часть энергии расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется разностью кинетических энергий до и после удара

.

Использовав уравнения (2) и (3), получим

;

Δ E = 2 · 9,81 м/с² · 0,8 м · 0,5 кг (1 – 0,5 кг/1,5 кг) · 0,25=1,3 Дж.

Ответ: h = 0,044 м; Δ E = 1,3 Дж.

 

3. Молот массой 70 кг падает с высоты 5 м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия. Систему молот – изделие – наковальня считать замкнутой.

Дано: m ₁ = 70 кг, h = 5 м, m ₂ = 1330кг.

Найти: Е.

Решение. По условию задачи, система молот–изделие–наковальня считается замкнутой, а удар неупругий. На основании закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара.

Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, т.е. незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда для энергии деформации изделия получим

,                                 (1)

где u – скорость молота в конце падения с высоты h; u – общая скорость тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h без учета сопротивления воздуха и трения

.                                            (2)

Общую скорость тел системы после неупругого удара найдем, применив закон сохранения импульса

.                                               (3)

Длярассматриваемой системы этот закон имеет вид ,

откуда

.                                                   (4)

Подставив в формулу (1) выражения (2) и (4), получим

; Дж.

Ответ: Е = 3258 Дж.

 

4. Маховик массой 4 кг вращается с частотой 720 мин^–1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Масса маховика равномерно распределена по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.

Дано: w = 0, m = 4 кг, n = 720 мин^–1 = 12 c^–1; D t = 30 с, R = 0,4 м.

Найти: М; N.

Решение. Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, применим основное уравнение динамики вращательного движения

 

,                                    (1)

где J – момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; D w - изменение угловой скорости за промежуток времени D t.

По условию, D w = – w ₀, где w ₀ – начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость w = 0. Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика: w ₀ = 2 p n и D w = 2 p n. Момент инерции маховика J =mR², где m –масса маховика; R – его радиус. Формула (1) принимает вид

,

откуда

;

M = 2·3,14·12 с^-1·4 кг·0,16 м²/30 с = 1,61 Н·м.

Угол поворота (т. е. угловой путь φ) за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:

,                                       (2)

где ε – угловое ускорение. По условию w = w₀ - ε·Dt; w = 0; ε·Dt = w₀. Тогда выражение (2) можно записать так:

.

Так как φ = 2 pN, w ₀ = 2 p n,то число полных оборотов

N = n·Dt /2; N = 12 c ^–1·30 с/2=180.

Ответ: М= 1,61 Н·м, N = 180.

 

5. Тонкий стержень вращается сугловой скоростью 10 с^–1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдет через конец стержня.

Дано: ω ₁ = 10 с^-1.

Найти: ω ₂

Решение. Используем закон сохранения момента импульса в виде

.                                     (1)

В данной задаче вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменится. В соответствии с (1) запишем

,                                                  (2)

где J₁ и J₂ – моменты инерции стержня при двух положениях оси вращения. Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен

.                                                 (3)

По теореме Штейнера,

,

где J – момент инерции тела относительно производной оси вращения; J ₀ – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; d – расстояние от центра масс до выбранной оси вращения.

Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:

    .           (4)

Подставив формулы (3) и (4) в (2), получим

откуда            ; .

Ответ: w₂ = 2,5 с^-1.

 

6. Протон движется со скоростью 0,7 с (с – скорость света). Найти импульс и кинетическую энергию протона.

Дано: u = 0,7 с.

Найти: p; Т.

Решение. Так как скорость протона сравнима со скоростью света, то необходимо воспользоваться определением релятивистского импульса:

,

где m ₀ = 1,67·10 ^{– 27} кг – масса покоя протона; u – его скорость движения; с = 3·10⁸ м/с – скорость света в вакууме;   – скорость протона, выраженная в долях скорости света.

р = 1,67·10 ^{– 27} кг·3·10⁸ м/с· = 4,91·10 ^{– 19} кг·м/с.

В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Е ₀этой частицы:

,

где

; .

Вычислим энергию покоя протона:

Е ₀ = 1,67·10 ^{– 27} кг (3·10⁸ м/с)² = 1,5·10 ^{– 10} Дж.

Тогда

;

.

Ответ: р = 4,91·10 ^{– 19} кг·м/с, Т = 0,6·10 ^{– 10} Дж.