Примеры решения контрольных задач

1. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии 50 см друг от друга, в одном направлении текут токи J ₁и J ₂ силой по 5 А. Между проводниками на расстоянии 30 см от первого расположен кольцевой проводник с током J ₃ силой 5 А (рис. 3). Радиус кольца 20 см. Определить индукцию и напряженность магнитного поля, создаваемого токами в центре кольцевого проводника.

Дано: J _l = J ₂= J ₃= J = 5 A; r ₁= 0,2 м; r ₃= 0,2 м. Найти: В; Н.

Решение. В соответствии с принципом суперпозиции индукция результирующего магнитного поля в точке Аравна

(1)

где и – индукции полей, создаваемых соответственно токами J ₁и J ₂,направленными за плоскость рисунка; - индукция поля, создаваемая кольцевым током. Как видно из рис. 3, векторы и направлены по одной прямой в противоположные стороны, поэтому их сумма по модулю

. (2)

Индукция поля, создаваемого бесконечно длинным проводником стоком,

; , (3)

где μ ₀ – магнитная постоянная; μ – магнитная проницаемость среды (для воздуха μ = 1); r ₁, r ₂ – расстояния от проводников до центра кольца. Подставив (3) в(2), получаем

(4)

Индукция поля, создаваемого кольцевым проводником с током,

, (5)

где r ₃ – радиус кольца.

Как видно из рис. 3, векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому .Или, учитывая выражения (4) и (5), имеем

;

= 15,7мкТл.

Напряженность магнитного поля

;

Ответ: В = 15,7 мкТл; Н = 12,5 А/м.

2.Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 88 кВ, влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции. Индукция поля равна 0,01 Тл. Определить радиус траектории электрона.

Дано: U = 88 кВ; B = 0,01 Тл; е = 1,6·10^-19 Кл.

Найти: r.

Решение. В магнитном поле с индукцией В на электрон, движущийся со скоростью, перпендикулярной индукции, действует сила Лоренца

, (1)

которая обусловливает центростремительное ускорение электрона при его движении по окружности:

, (2)

где m – масса электрона; е – его заряд; r – радиус траектории его движения.

Пройдя ускоряющую разность потенциалов U, электрон приобретает кинетическую энергию mv ²/2, равную работе А сил электрического поля mv²/2 = eU. Отсюда находим скорость электрона:

. (3)

Из уравнения (2) с учетом (3) найдем радиус траектории

;

Ответ: r = 0,1 м.

3. Виток радиусом 5 см с током 1 А помещен в однородное магнитное поле напряженностью 5000 А/м так, что нормаль к витку составляет угол 60° с направлением поля. Какую работу совершат силы поля при повороте витка в устойчивое положение?

Дано: r = 0,05 м; J = 1 А; H = 5000 А/м; α = 60°.

Найти: А.

Решение. Работа А при повороте витка с током J в магнитном поле

A = J·ΔФ. (1)

Здесь Δ Ф = Ф ₂ - Ф ₁– изменение магнитного потока сквозь площадь витка S = πr²; Ф₁ =В·S·cosα – магнитный поток, пронизывающий виток в начальном положении, где α – угол между векторами и .

Устойчивым положением витка в магнитном поле является такое, при котором направление нормали к нему совпадает с вектором индукции, т. е. cosα = l. Следовательно, Ф₂=В · S. Таким образом, ΔФ = Вπr²(1-cosα). Учитывая, что В = μμ₀Н, имеем

DФ= μμ₀Нπr² (1 – cos α) (2)

Подставив (2) в (1), получаем

А= Jμμ₀Нπr² (1 – cos α);

А = 1А·1·12,56·10^-7 Гн/м·5·10³ А/м·3,14·25·10^{-4 м2} (1 - 0,5) = 2,46·10^-5Дж.

Ответ: А = 2,46·10^-5 Дж.

4. Короткая катушка, содержащая N=10³ витков, равномерно вращается с частотой n=10 с^-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям однородного магнитного поля с магнитной индукцией В=0,04 Тл. Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол a=60^о с линиями поля. Площадь катушки S=100 см².

Дано: N=10³, n=10 с^-1, В=0,04 Тл, a=60^о, S=100 см².

Найти: ε_i.

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции определяется по закону Фарадея

где Y=NФ – потокосцепление, N – число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Ф.

При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизывающий катушку в момент времени t, изменяется по закону Ф=ВScos ωt, где ω – угловая скорость катушки.

Угловая скорость связана с частотой вращения соотношением ω=2pn. Угол ωt=p/2-a и sin(p/2-a)=cosa. Следовательно,

ε_i=2pnNBScosa.

Произведем вычисления:

ε_i=2·3,14·10·10³·0,04·10^-2·0,5=25,1 В.

Ответ: ε_i=25,1 В.

5. Соленоид длиной 20 см и диаметром 4 см имеет плотную трехслойную обмотку из провода диаметром 0,1 мм. По обмотке соленоида течет ток 0,1 А. Зависимость B(H) для материала сердечника приведена на рис. 4. Определить напряженность и индукцию поля в соленоиде, магнитную проницаемость сердечника, индуктивность соленоида, энергию и объемную плотность энергии поля соленоида.

Дано: l = 0,2 м; D = 0,04 м; N = 3; d = 1·10^{-4 м; J = 0,1 А.}

Найти: H; В; μ; L; W; w.

Решение. Поле внутри соленоида можно считать однородным. В этом случае напряженность поля

H=J×n, (1)

где J – сила тока в обмотке;

n=N/d, (2)

n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида;

N – число слоев обмотки; d – диаметр провода. Тогда

;

По графику B(H) находим, что напряженности 3000 А/м соответствует индукция 1,7 Тл. Используя связь между индукцией и напряженностью

B=mm₀H, (3)

определим магнитную проницаемость

;

Индуктивность соленоида

L=mm₀n²×_×l×S, (4)

где l – длина, S = πD²/4 – площадь поперечного сечения соленоида. Учитывая (2), получаем

(5)

Объемная плотность энергии магнитного поля

;

Энергия магнитного поля соленоида

W = w·S·l (6)

или

W = LJ²/2. (7)

Подставив числовые данные в (7), получаем

W = 128 Гн·10^-2 А²·0,5 = 0,64 Дж.

Ответ: H = 3000 А/м; B = 1,7 Тл; μ = 450; L = 128 Гн;

w = 2,55 кДж/м³; W = 0,64 Дж.

6. На соленоид (см. условие и решение задачи 5) надето изолированное кольцо того же диаметра. Определить электродвижущую силу индукции в кольце и электродвижущую силу самоиндукции в соленоиде, если за 0,01 с ток в его обмотке равномерно снижается до нуля.

Дано: B = 1,7 Тл; D = 0,04 м; J ₁ = 0,1 A; L = 128 Гн; Δ t =10^-2 с; J ₂= 0.

Найти: ε_i; ε _s.

Решение. По условию за время Δt = 0,01 с сила тока в обмотке соленоида равномерно уменьшается от 0,1А до нуля, поэтому магнитный поток, пронизывающий площадь кольца S=πD²/4,уменьшается от Ф₁=BS до Ф₂=0. Электродвижущая сила индукции, возникающая в кольце,

;

Электродвижущая сила самоиндукции ε _s,возникающая в соленоиде при выключении тока в нем, ε _s = - LdJ/dt. Так как при выключении сила тока уменьшается до нуля равномерно, то