Примеры решения задач

1. Материальная точка массой 10 г совершает гармоническое колебание с периодом 1 с. Определить амплитуду колебаний, максимальные скорость и ускорение колеблющейся точки, если полная энергия точки равна 0,02 Дж.

Дано: m = 0,01 кг, Т= 1 с, E = 0,02 Дж.

Найти: A, u _max, a _max.

Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид

s=Asin(ωt+φ₀) (1)

где s – смещение материальной точки от положения равновесия,

А – амплитуда колебания, ω – циклическая частота, t – время,

φ₀ – начальная фаза.

Скорость материальной точки равна первой производной от смещения по времени

. (2)

Максимальное значение скорости

. (3)

Ускорение точки определяется как первая производная скорости по времени:

. (4)

Максимальное значение ускорения равно

a_max=ω²A. (5)

Полная энергия колебания складывается из кинетической и потенциальной энергии и равна максимальной кинетической или максимальной потенциальной энергии:

. (6)

Из этого выражения найдем амплитуду колебания

(7)

Произведем вычисления, учитывая, что циклическая частота и период колебаний связаны соотношением

;

υ_max=6,28 c^-1·0,32 м=2 м/с;

a_max=(6,28 c^-1)²·0,32 м=12,6 м/с².

Ответ: А = 0,32 м, u _max= 2 м/с, a _max = 12,6 м/с².

2. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны 0,1 А/m. Определить энергию, переносимую этой волной через поверхность площадью 1 м², расположенную перпендикулярно направлению распространения волны, за время t =1 с. Период волны T << t.

Дано: H _m = 0,1 А/м, S = 1 м², t = 1 с, T << t, e = 1, m = 1.

Найти: W.

Решение. Плотность потока энергии электромагнитной волны определяется вектором Пойнтинга

, (1)

где и – векторы напряженности электрического и магнитного полей. Учитывая, что векторы и электромагнитной волны взаимно перпендикулярны, для модуля вектора получим

р=ЕН. (2)

Так как величины E и H в каждой точке волны меняются со временем по гармоническому закону, находясь в одинаковых фазах, то мгновенное значение

p=E_msinωt·H_msinωt=E_mH_msin²ωt. (3)

Энергия, переносимая через площадку S, перпендикулярную направлению распространения волны, в единицу времени,

. (4)

Учитывая, что в электромагнитной волне

, (5)

найдем

. (6)

Тогда выражение (4) принимает вид

. (7)

Энергия, переносимая волной за время t, равна

. (8)

По условию T<< t, поэтому . Тогда

. (9)

Подставив числовые значения, получим

Ответ: W = 1,88 Дж.

3. Для устранения отражения света от поверхности линзы на нее наносится тонкая пленка вещества с показателем преломления 1,25, меньшим, чем у стекла (просветление оптики). При какой наименьшей толщине пленки отражение света с длиной волны 0,72 мкм не будет наблюдаться, если угол падения лучей 60°?

Дано: n = 1,25; l = 0,72 мкм; i = 60°.

Найти: d _min.

Решение. Оптическая разность хода лучей, отраженных от нижней и верхней поверхности пленки, равна

(1)

где d – толщина пленки, n - показатель преломления пленки,

i – угол падения лучей.

В выражении (1) учтено, что отражение лучей на обеих поверхностях происходит от оптически более плотной среды, и поэтому потери полуволны в обоих случаях компенсируют друг друга.

Условие возникновения интерференционного минимума имеет вид

ΔL=±(2m-1)λ/2, m=1,2,…, (2)

где l - длина волны света. Подставив (1) в (2) и учитывая, что выражение (1) положительно, получим

. (3)

Из (3) найдем возможные значения толщины пленки:

. (4)

Наименьшее значение толщины пленки будет при m = 1:

(5)

Подставив в (5) числовые значения, получим

Ответ: d _min = 0,2 мкм.

4. Постоянная дифракционной решетки 10 мкм, ее ширина 2 см. В спектре какого порядка эта решетка может разрешить дублет l ₁ = 486,0 нм и l ₂ = 486,1 нм?

Дано: d = 10 мкм, l = 2 см, l ₁ =486,0 нм, l ₂ = 486,1 нм.

Найти: k.

Решение. Разрешающая способность дифракционной решетки

, (1)

где D l - минимальная разность длин волн двух спектральных линий l и l + D l, разрешаемых решеткой; k – порядок спектра;

N – число щелей решетки.

Поскольку постоянная решетки d есть расстояние между серединами соседних щелей, общее число щелей можно найти так

, (2)

где l – ширина решетки.

Из формулы (1) с учетом (2) находим

. (3)

Дублет спектральных линий l ₁ и l ₂ будет разрешен, если

. (4)

Подставив (3) в (4) и учитывая, что l = l ₁, получим

(5)

Из выражения (5) следует, что дублет l ₁ и l ₂ будет разрешен во всех спектрах с порядком

. (6)

Подставив числовые данные, получим

Так как k – целое число, то k ³ 3.

Ответ: k ³ 3.

5. Интенсивность естественного света, прошедшего через поляризатор, уменьшилась в 2,3 раза. Во сколько раз она уменьшится, если за первым поставить второй такой же поляризатор так, чтобы угол между их главными плоскостями был равен 60°?

Дано: I₀/I₁ = 2,3; a = 60°.

Найти: I₀/I₂.

Решение. Естественный свет можно представить как наложение двух некогерентных волн, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях и имеющих одинаковую интенсивность. Идеальный поляризатор пропускает колебания, параллельные его главной плоскости, и полностью задерживает колебания, перпендикулярные этой плоскости. На выходе из первого поляризатора получается плоско поляризованный свет, интенсивность которого I₁с учетом потерь на отражение и поглощение света поляризатором равна

. (1)

где I ₀ – интенсивность естественного света; k – коэффициент, учитывающий потери на отражение и поглощение.

После прохождения второго поляризатора интенсивность света уменьшается как за счет отражения и поглощения света поляризатором, так и из-за несовпадения плоскости поляризации света с главной плоскостью поляризатора. В соответствии с законом Малюса, учитывая потери на отражение и поглощение света, имеем

, (2)

где a – угол между плоскостью поляризации света, которая параллельна главной плоскости первого поляризатора, и главной плоскостью второго поляризатора.

Найдем, во сколько раз уменьшилась интенсивность света

. (3)