Примеры решения контрольных задач

1. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию и длину волны испущенного при этом фотона.

Дано: m=4, n=2.

Найти: ε,l.

Решение. Энергия испущенного фотона будет определяться разностью энергий электрона на четвертом и втором энергетических уровнях:

ε=E_m-E_n.

Энергия электрона в атоме водорода на n-ом энергетическом уровне

, где E_i = 13,6 эВ энергия ионизации атома водорода.

Следовательно,

Длина волны излученного фотона

Произведем вычисления:

эВ.

м=488 нм.

Ответ: ε=2,55 эВ, l=488 нм.

 

2. Кинетическая энергия протона в четыре раза меньше его энергии покоя. Вычислить дебройлевскую длину волны протона.

Дано: Т = Е ₀/4, Е ₀ = 1,50·10^-10 Дж.

Найти: l.

Решение. Длина волны де Бройля l определяется по формуле

                                                                                                 (1)

где h – постоянная Планка, р –импульс частицы.

Так как по условию задачи

,                                                 (2)

кинетическая энергия Т протона сравнима с его энергией покоя Е ₀, импульс р и кинетическая энергия связаны релятивистским соотношением

                                   (3)

где с – скорость света в вакууме. Подставив в (3) условие (2), найдем

p = .                                                (4)

Учитывая равенство (4), запишем (1) в виде

                                        .                                                  (5)

Подставив в (5) числовые значения, получим

.

Ответ: l = 1,77·10^{-15 м.}

3. Среднее время жизни возбужденных состояний атома составляет 10 нс. Вычислить естественную ширину спектральной линии (l = 0,7 мкм), соответствующую переходу между возбужденными уровнями атома.

Дано: t = 10^-8 с; l = 7·10^{-7 м.}

Найти: D l _min.

Решение. При переходе электрона из одного стационарного состояния в другое излучается (или поглощается) энергия, равная

,                                          (1)

где Е_n и Е_k – энергетические уровни атома, l - длина волны излучения, c – скорость света в вакууме, h – постоянная Планка.

Из (1) следует, что неопределенность длины волны D l излучения связана с неопределенностью энергии уровней D Е_n и D Е_k атома соотношением

.                                  (2)

Согласно соотношению неопределенности Гейзенберга,

,                                            (3)

где D t – неопределенность момента времени перехода атома из одного стационарного состояния в другое.

Поскольку D t не превышает среднее время жизни t возбужденного состояния атома, минимальная неопределенность энергии возбужденных уровней, согласно (3), равна

.                                          (4)

Из (2) с учетом (4) найдем минимальную неопределенность длины волны излучения, которая называется естественной шириной спектральной линии

.                              (5)

Если одно из состояний, между которыми совершается переход, является основным, то

,                                    (6)

поскольку для основного состояния t = ∞. Для возбужденных состояний с одинаковым временем жизни t_n = t_k = t имеем

.                                           7)

Подставив в (7) числовые значения, получим

м).

Ответ: Dl_min = 5,2·10^{-14 м.}

 

4. Сколько атомов 1г трития ³₁Н распадается за среднее время жизни этого изотопа.

Дано: m = 10^{-3 кг}; t = t.

Найти: N ¹.

Решение. Согласно закону радиоактивного распада,

                                     (1)

где N – число нераспавшихся атомов в момент времени t, N₀ – начальное число радиоактивных атомов в момент t = 0, l - постоянная радиоактивного распада.

Среднее время жизни t радиоактивного изотопа – величина, обратная постоянной распада,

                                                                                   (2)    

По условию t = t. Подставив в (1) вместо tзначение t из (2), получим

.                                       (3)

Число атомов, распавшихся за время t = t, равно

                           (4)

Найдем число атомов N₀, содержащихся в массе m = 1г изотопа ³₁Н:

                           ,                                        (5)

где М = 3·10^-3 кг/моль – молярная масса изотопа ³₁Н, N_A – число Авогадро.

Учитывая (5), запишем выражение (4) в виде

                                             (6)

Подставив в (6) числовые значения, получим

.

Ответ: N’ = 1,27·10²³.

 

5. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра .

Решение. Дефект массы D m ядра определяется по формуле

                                   (1)

где Z – зарядовое число, А – массовое число, m_р – масса протона, m_n – масса нейтрона, m_я – масса ядра.

Формулу (1) можно также записать в виде

,                      (2)

где – масса атома ¹₁ H; m_а – масса атома, дефект массы ядра которого определяется. Из справочных таблиц находим:

m _Н = 1,00783 а. е. м.; m_n = 1,00867 а. е. м.; m_О = 15,99492 а. е. м.

Подставив в (2) числовые данные (для ₈¹⁶О числа Z = 8 и А = 16), получим

D m = 0,13708 а. е. м.

Энергия связи ядра Е _свопределяется по формуле

,                                         (3)

где с – скорость света в вакууме.

Если дефект массы D m выражать в а. е. м., а энергию связи Е_св – в МэВ, то формула (3) принимает вид

.                                       (4)

Подставив в (4) числовые значения, получим

Е_св = 931 МэВ/а. е. м. ·0,13708 а. е. м. = 128 МэВ.

Удельная энергия связи e_св вычисляется по формуле

.                                            (5)

Проводя вычисления, получим

.

Ответ: D m = 0,13708 а. е. м.; Е_св = 128 МэВ; e_св = 8 МэВ.

 

6. Вычислить энергию ядерной реакции

Выделяется или поглощается энергия при этой реакции?

Решение. Энергия ядерной реакции определяется по формуле

                                 (1)

где m ₁ и m ₂ – массы частиц, вступающих в реакцию; S m ¢_i - сумма масс частиц, образовавшихся в результате реакции.

Если массу частиц выражать в а. е. м., а энергию реакции в МэВ, то формула (1) принимает вид

                               (2)

При вычислении энергии ядерной реакции можно использовать вместо масс их ядер массы атомов. Из справочных данных находим:

m _Hе = 4,00260 а. е. м.; m _H = 1,00783 а. e. м.; m _Li = 7,01601 а. е. м.

Дефект массы реакции равен (2 m _Не- m _Н- m _Li) = - 0,01864 а. е. м.

Подставив значение дефекта массы реакции в (2), получим 

Q = 931 МэВ/а. е. м. (- 0,01864 а. е. м.) = - 17,3 МэВ.

Поскольку Q < 0, энергия в результате реакции поглощается.

Ответ: Q = - 17,3 МэВ, энергия поглощается.