энергии
1 Работа переменной силы на пути S
В частном случае постоянной силы, действующей под неизменным углом a к перемещению,
.
2 Мощность
В случае постоянной мощности
N = А /t,
где А - работа, совершаемая за время t.
3 Кинетическая энергия тела (частицы), движущегося со скоростью V
4 Связь между силой, действующей на частицу в данной точке поля, и потенциальной энергией частицы
5 Потенциальная энергия тела массой m, поднятого над поверхностью Земли на высоту h
П = mgh.
6 Потенциальная энергия упруго деформированного тела
,
где k - коэффициент упругости; x - величина деформации.
7 Закон сохранения механической энергии для консервативных систем
Т + П = Е = const
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1 Свободно падающее тело в последнюю секунду своего падения проходит половину всего пути. Найти, с какой высоты падает тело, и какова продолжительность его падения.
Решение
Тело падает свободно, его ускорение равно 9,8 м/с2. Уравнение пути для тела, падающего с высоты h, начальная скорость которого равна нулю,
(1.1)
По условию задачи, тело за последнюю секунду проходит половину всего пути, значит, первую половину пути тело проходит за время (t -1) c. Для первой половины пути можно записать
(1.2)
Решим систему уравнений (1.1) и (1.2). Для этого подставим h из уравнения (1.1) в (1.2) и получим
Сокращая на g и раскрывая скобки, получаем квадратное уравнение относительно времени падения тела t
t 2 - 4 t + 2 = 0.
Решение этого уравнения дает два положительных корня: t 1 = 3,4 с и t 2 = 0,58 с. Второй корень не имеет смысла, так как по условию задачи тело падает больше 1 с.
Для нахождения высоты, с которой падает тело, подставим t 1 = 3,4 с в уравнение (1.1)
.
2 Мальчик бросает мяч вверх под углом a = 70° к горизонту и попадает прямо в открытое окно, расположенное выше его плеча на расстоянии h = 9,6 м. Мяч влетает в окно горизонтально. Определить радиус кривизны траектории мяча в момент, когда он перелетает через подоконник, и начальную скорость мяча.
Решение
Тело, брошенное под углом к горизонту, движется по криволинейной траектории. Согласно принципу независимости движений, можно считать, что тело одновременно участвует в двух независимых движениях. Движение по горизонтали является равномерным, так как в этом направлении на тело не действуют силы (если пренебречь сопротивлением воздуха). Поэтому горизонтальная составляющая скорости V x = V 0cosa = const. Движение по вертикали под действием постоянной силы тяжести будет равнопеременным. Вертикальная составляющая скорости в начальный момент времени равна V y0 = V 0sina и изменяется с течением времени по закону равнозамедленного движения. В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю.
Так как по условию задачи мяч влетает в окно горизонтально, то в этот момент мяч находится в высшей точке траектории, для которой уравнения кинематики равнозамедленного движения принимают вид
(2.1)
Решаем эту систему уравнений относительно V 0, выражая t из второго уравнения и подставляя в первое. Получаем
Подставляя числовые значения, получим V 0=14,6 м/с.
Для нахождения радиуса кривизны траектории в момент перелета мячом подоконника воспользуемся тем, что полное ускорение тела, брошенного в поле силы тяжести, равно g. В верхней точке траектории тангенциальное ускорение тела равно нулю и нормальное ускорение равно полному. Нормальное ускорение связано с радиусом кривизны траектории формулой a n = V 2 / R. В верхней точке траектории V = V 0cosa. Тогда
Подставляя числовые значения, получим R = 2,5 м.
3 Тело массой m = 10 кг движется по наклонной плоскости вверх с ускорением a. На тело действует сила F = 100 Н, направленная вверх под углом a=30° к поверхности наклонной плоскости. Коэффициент трения m = 0,1. Угол наклона плоскости к горизонту b = 30°. Определить ускорение тела.
Решение
При решении динамических задач в большинстве случаев необходимо сделать чертеж и указать на нем все силы, действующие на тело.
Запишем второй закон Ньютона в векторном виде Или .
Перейдем к скалярным уравнениям, для чего возьмем проекции всех векторных величин на оси X и Y:
на ось Х: F cosa- F тр - mg sinb = ma, (3.1)
на ось Y: N- mg cosb = 0 (3.2)
Сила трения равна
F тр = m N. (3.3)
Решаем систему уравнений (3.1) - (3.3) относительно a
Подставляя числовые значения, получим a = 2,9 м/с2.
4 Шар массой 1 кг, движущийся горизонтально с некоторой скоростью V 1, столкнулся с неподвижным шаром массой 3 кг. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?
Решение