Площадь поверхности сферы (шара)

В отличие от боковой поверхности цилиндра и конуса, сферу нельзя развернуть на плоскость, т.е. невозможно вычислить площадь сферы как площадь ее боковой развертки. Для решения задачи используется понятие сферы, вписанной в многогранник. Полученная формула будет доказана в разделе «Интегральное исчисление» в теме «Определенный интеграл» на 2 курсе.

S_сферы = 4π∙R ²

 

Решение задач

Задача 1. Площадь сферы равна 256π. Найдите площадь сечения, проходящего на расстоянии от ее центра.

Дано: сфера, S_сферы=256π, d = . S_{сечения} -?

Решение. 1) Ищем радиус сферы: ;

2) Ищем радиус сечения: ;

3) Тогда, площадь сечения: .                                                                          Ответ: 32π

Задача 2.   Вершины ΔABC лежат на сфере радиуса 13см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если AB = 6см, BC = 8см, AC = 10см.

Из условия задачи следует:

1) Стороны ΔABC удовлетворяют условию: AC ² = AB ² + BC ², значит, по теореме, обратной теореме Пифагора ΔABC – прямоугольный; AC – гипотенуза.

2) Если вершины треугольника лежат на сфере, значит, плоскость треугольника является секущей к сфере. Сечение сферы любой плоскостью является окружность. Т.е. ΔABC вписан в окружность. А, если треугольник прямоугольный, то центр описанной окружности – это середина гипотенузы (см. Справочный материал).

Теперь можно делать рисунок.

 

Дано: сфера, R = 13см; ΔABC, AB = 6см, BC = 8см, AC = 10см;

Точки A, B, C лежат на сфере              

Найти: расстояние от центра сферы до плоскости ΔABC. На рис. d = OK

Решение:

1) В ΔABC: AC ² = AB ² + BC ², 10² = 6² + 8², 100 = 100, значит ΔABC прямоугольный: <B = 90⁰.

2) . Тогда ΔABC вписан в окружность, значит центр окружности – середина гипотенузы AC. Это точка К.

3) Расстоянием от центра О до плоскости ΔABC будет d = OK

4)         Тогда:                        Ответ: 12см

Задача 3.  Площадь сферы рана 324см². Найти радиус сферы.

Дано: сфера, R                             

S_сферы = 324 см²        Найти: R

Решение:                                            Ответ:  см

 

Задача 4.  Радиус сферы равен 112см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15см. Найти: 1) расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы; 2) площадь сферы.

    Дано: сфера, R = 112см

               Плоскость α – касательная, А – точка касания

               , AB = 15см

Найти: 1) расстояние от В до ближайшей точки сферы

              2) S_сферы 

                                    Решение:

1) Соединим точки В и О. Отрезок ВО пересекает сферу в точке К, т.е. OK = OA = R

2) как радиус, проведенный в точку касания. Тогда:  по определению прямой, перпендикулярной плоскости.

3) Из ΔABO:

4) Тогда: BK = OB – OK = 113 – 112 = 1                                                

Ответ: 1см