Конус как тело вращения

Определение. Тело, ограниченное кругом и конической поверхностью, называется конусом.

Такой конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

На рисунке конус получен вращением ΔABC вокруг катета AC. При этом катет AB описывает круг, а гипотенуза BC является образующей.

Очевидно, что вращая треугольник вокруг катета AB, получится другой конус. Представьте себе тело, которое получится, если вращать треугольник вокруг гипотенузы.

 

Изображение и элементы конуса

Ось конуса проходит через вершину и центр основания.                      Множество образующих составляют коническую поверхность. Образующая обозначается L (l).

Основание – круг с центром в точке О и радиусом r. Радиус основания считается радиусом конуса.

Высота конуса  h – перпендикуляр из вершины на плоскость основания.

 Из рисунка сразу видно, как связаны образующая, высота и радиус:

по теореме Пифагора

Как правило, задачи с конусом сводятся к решению прямоугольного треугольника.

 

 

Сечения конуса

1.3.1 Осевое сечение конуса

Это сечение, проходящее через ось конуса. Фигура сечения – равнобедренный треугольник.

Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник.

Площадь осевого сечения:

    S_{осев. сеч.} = S_ABC =

 

                    

1.3.2. Сечение плоскостью, параллельной оси конуса

 

   Сечением в этом случае окажется фигура, похожая на часть эллипса (арка). Линия, которая ограничивает эту фигуру, - не что иное, как парабола. На самом деле, конус – очень интересное тело. Если построить секущую плоскость наклонно к оси конуса, то линией, ограничивающей фигуру сечения, будет гипербола. Т.е. парабола и гипербола – это реально существующие линии и являются они сечениями конуса, а в курсе алгебре разработаны функции, которые описывают эти кривые.

1.3.3.  Сечение плоскостью, перпендикулярной оси конуса

Очевидно, что фигурой сечения в данном случае будет круг с центром в точке О₁ и радиусом r₁. Отрезок от точки О до точки О₁ называется  расстоянием от основания конуса до секущей плоскости:d = OO₁

Площадь сечения: S_{сечения} = S_круга = π∙r₁²   

При решении задач следует учитывать: ΔSOA подобен ΔSO₁B по двум равным углам (). Тогда соответственные стороны (т.е. стороны напротив равных углов) пропорциональны:    

 

Если убрать отсеченную верхушку, то получится тело, которое называется усеченный конус.

Здесь: два основания – это круги с центрами в О и О₁ и радиусами r и r₁. Высота конуса – расстояние между точками О и О₁. L – образующая.

 Усеченный конус можно получить вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны перпендикулярной к основанию.