Взаимное расположение сферы и плоскости

По аналогии с взаимным расположением окружности и прямой.

Расположение зависит от соотношения радиуса сферы - R и расстояния до

плоскости – d. Возможны три случая:

1) . Тогда сфера и плоскость не имеют общих точек;

2) . Тогда сфера и плоскость пересекаются. Сечения сферы рассмотрены в следующем пункте;

3) . В этом случае плоскость и сфера имеют одну общую точку. Плоскость называется касательной к сфере.

Плоскость α и касается сферы в точке А. Тогда справедливы теоремы:

Теорема (прямая): Радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема (обратная): Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, то эта плоскость является касательной к сфере.

Сечения сферы и шара

Сечением сферы является окружность. Сечение шара любой плоскостью есть круг.

Размер окружности или круга зависит от того, на каком расстоянии от центра проходит секущая плоскость.

 Секущая плоскость проходит через центр шара (сферы). Такое сечение называется  большой круг шара: R_{сечения} = R_шара

 Площадь такого сечения: S_{сечения} = π∙R ², где R – радиус шара.

 Секущая плоскость не проходит через центр шара

Фигура сечения – круг радиуса r. Площадь сечения: S_{сечения} = π∙r ²

Поскольку в шаре осью симметрии является любая прямая, проходящая через центр, то всегда можно построить плоскость, параллельную секущей плоскости. Тогда расстоянием от центра шара до секущей плоскости d будет перпендикуляр, опущенный из центра О₁ на эту плоскость. На рисунке - это отрезок ОО₁. Построив радиус шара из центра в точку А, получим прямоугольный ΔOAO₁. Тогда: