Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция

Площадь поверхности конуса

Поверхность конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности.

  S_осн = S_круга = π r²,  где r – радиус конуса.

За площадь боковой поверхности принимается площадь ее развертки. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор: это часть круга радиуса L (образующей конуса). Дуга AB опоясывает основание конуса и равна длине его окружности.

Тогда: S_{бок. пов.} = S _{сектора}= , где α – градусная мера дуги AB (вывод формулы см. учебник стр. 132).

 В элементах конуса формула принимает вид: S_{бок. пов} = π r L

 

Тогда: S_конуса = S_осн + S_{бок. пов} =   

 L и l – это образующая. Иногда приходится пользоваться заглавной буквой, т.к. прописная выглядит, как единица.

 

Для усеченного конуса    S _{бок. пов .} =            S_{ус.конуса} =

Решение задач

Задача 1. Высота конуса равна 12, диаметр основания – 10. Найдите образующую.

Решение. .                                     Ответ: 13

Задача 2. Высота конуса 24, образующая равна 25. Найдите площадь основания конуса.

Решение.           Ответ: 49π кв.ед.

С.

 № 3.  Высота конуса 8дм. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна: а) половине площади основания?

  Дано: конус, h = 8дм

Сечение параллельно основанию (перпендикулярно оси) – круг, r₁

                     Найти: SО₁

Решение:

Найдем отношение SO к SO₁: ΔSOA ~ ΔSO₁B. Тогда:  

По условию:  - соотношение пропорциональных сторон подобных треугольников, т.е.                                                 Ответ:  дм

№4. Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найти α, если высота конуса 4см. а радиус основания 3см.

 

Дано: конус, h = 4см, r = 3см, развертка боковой поверхности – сектор, α. Найти: α

Решение:

1) S_{бок. пов.} = S _{сектора}= . Отсюда:    

2) Ищем L:

3) Тогда:                                                                        

Ответ: 216 ⁰