Неопределенный интеграл

Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

Свойства. Формулы интегрирования.

Первообразная

Функцию, восстанавливаемую по заданной ее производной или дифференциалу, называют первообразной.

Дифференцируемая функция  называется первообразной для функции  на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство .

Из этого определения вытекает, что всякая функция по отношению к своей производной является первообразной.

Так, функция  есть первообразная функции  на интервале , поскольку для всех  имеет место равенство .

1. Найти первообразную функции . Решение: Используя правило дифференцирования, можно догадаться, что на интервале  первообразной является . Действительно,  для всех . 2. Найти первообразную функции  на множестве R. Решение: Степень  получается при дифференцировании . Так как , то, чтобы при дифференцировании  получить перед  коэффициент 1, нужно взять с коэффициентом 1/7. Следовательно, .

Дифференцирование функции – однозначная операция, т.е. если функция имеет производную, то только одну. Это утверждение непосредственно следует из определений предела и производной: если функция имеет предел, то только один. Обратная операция – отыскание первообразной – не однозначна.

Так, функции , где С – любое постоянное действительное число, являются первообразными функции , поскольку все эти функции имеют одну и ту же производную .

Теорема. Если  является первообразной функции  на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид  , где С – любое действительное число.

Доказательство: Пусть . Тогда .

Покажем теперь, что все первообразные функции   отличаются лишь постоянным слагаемым.

Пусть Ф(х) – другая первообразная функции   на рассматриваемом промежутке, т.е. .

Тогда  при всех х из рассматриваемого промежутка. Следовательно, , что и требовалось установить.

Таким образом, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое, а выражение   исчерпывает множество всех первообразных заданной функции . Итак, задача нахождения первообразной неоднозначна. Она имеет бесконечное множество решений.

Геометрически выражение   представляет собой семейство кривых, получаемых из любой из них параллельным переносом вдоль оси Оу.

Неопределенный интеграл

Как уже было отмечено, первообразную можно находить не только по данной ее производной, но и по ее дифференциалу. В дальнейшее мы будем этим пользоваться.

Определение. Совокупность всех первообразных  функции  на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом , где - подынтегральная функция,  - подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Таким образом, если  - какая-нибудь первообразная функции на некотором промежутке, то , где С – любое действительное число.

Замечание. Наличие постоянной С делает задачу нахождения функции по ее производной не вполне определенной; отсюда происходит название «Неопределенный интеграл».

Так, пользуясь определением неопределенного интеграла, можно записать: .

Значит, чтобы найти неопределенный интеграл от заданной функции, нужно найти какую-нибудь одну из ее первообразных и прибавить к ней произвольную постоянную С.

Слово «интеграл» происходит от латинского слова integer, что означает «восстановленный». Интегрируя какую-либо функцию, например , мы как бы восстанавливаем функцию , производная которой равна .

Чтобы проверить, правильно ли найден неопределенный интеграл, необходимо продифференцировать полученную функцию, если при этом получается подынтегральное выражение, то интеграл найден верно.

Например, . Сделаем проверку: или . Следовательно, интеграл найден верно.