Простейшие свойства определенного интеграла

Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. При этом мы будем предполагать, что функция   непрерывна на отрезке .

1. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

                                           (1).

Доказательство: Пусть  и, значит, . Тогда ;    (2)

. (3)

Правые части равенств (2) и (3) равны; следовательно, должны быть равны и левые части, т.е. справедливо соотношение (1).

Это свойство позволяет рассматривать интегралы, в которых верхний предел меньше нижнего.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла, т.е.

                     ,                 (4),

 где m - постоянная величина.

Доказательство: Пусть  и, следовательно, . Тогда , (5)

. (6)

Из равенства (6) получим , откуда

.

Но из равенства (5) следует  и значит, справедливо соотношение (4).

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций, т.е.

                          (7)

Доказательство: Пусть  и . Тогда

или .

Аналогично можно доказать справедливость этого свойства для любого конечного числа слагаемых.

4. Если a, b, c принадлежат интервалу, на котором функция   непрерывна, то

     (8).

Доказательство: Пусть  – первообразная функция для . Тогда

.

Вычисление определенного интеграла

1.

 

2.

3.

4.

5.

 

 

6.