2020-06-29
88
Из определения интеграла следует, что для того, чтобы проинтегрировать функцию, нужно найти ее первообразную. Для ряда функций это легко сделать, используя соответствующие формулу интегрирования.
Например, мы знаем, что 
; отсюда следует, что 
.
Итак, формулы интегрирования получаются обращением соответствующих формул дифференцирования. Выпишем в таблицу основные интегралы.
 при 
| 
|
Интегралы, приведенные в этой таблице, называются табличными интегралами.
Для вывода этих формул, как уже отмечалось, используется свойство 5 неопределенного интеграла, а именно дифференцирование правой части равенства. Производная правой части равенства дает подынтегральную функцию, а дифференциал – подынтегральное выражение.
Формула 1 справедлива при любом n, кроме n=-1, так как в этом случае знаменатель обращается в нуль и выражение теряет смысл. Для доказательства найдем производную правой части равенства:
Мы получили подынтегральную функцию; следовательно, формула верна.
|
|
|
Случаю n=-1 соответствует формула 2:
Чтобы найти 
, заметим, что функция 
непрерывна в промежутках 
и 
, причем в каждом из них она имеет первообразную.
В промежутке 
этой первообразной, очевидно, является функция 
, так как 
, т.е. 
при 
.
В промежутке первообразной по отношению к является 
, т.е. 
при 
. Действительно, 
существует при 
и 
.
Итак, оба промежутка непрерывности подынтегральной функции объединяются записью 
.
Справедливость всех остальных табличных интегралов легко проверить, если продифференцировать их правые части.
Отметим, что формула 3 является частным случаем формулы 4 при 
.
Вычисление интегралов способом приведения их к табличным с помощью преобразования подынтегрального выражения и применения свойств 2 и 3 неопределенного интеграла называется непосредственным интегрированием. При этом полезно запомнить, что 
(формула 1 при 
).
1. 
2. 
= 
3. 
= 
4. 
= 
