Криволинейная трапеция и ее площадь

Пусть на отрезке дана непрерывная неотрицательная функция (рис.1). Проведем вертикальные прямые до пересечения с графиком функции .

         y=f(x)



a                                           b

0                                            x

          рис.1

Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции , , прямыми и отрезком оси .

Как вычислить площадь криволинейной трапеции? Рассмотрим криволинейную трапецию CHKD (рис.2), у которой абсцисса точки С равна х, а абсцисса точки D равна . Пусть график функции пересекает ось ординат в точке А. Тогда площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности площади криволинейной трапеции OAKD и OAHC. Так как площадь криволинейной трапеции OAHC зависит от х, то ее можно обозначить символом S(x). Аналогично, площадь криволинейной трапеции OAKD есть функция от и ее можно обозначить символом S(). Поэтому площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности S() и S(x) иможет быть обозначена символом .

Построим два прямоугольника CHED и CMKD. Площадь первого из них равна , а площадь второго равна . Поскольку площадь криволинейной трапеции CHKD не меньше площади прямоугольника CHED и не больше площади прямоугольника CMKD, можно записать неравенство.

Разделив обе части этого неравенства на и найдем пределы всех выражений при . Но есть производная функции S(x), а в силу непрерывности функции имеем . Следовательно, .

Итак, производная площади криволинейной трапеции равна функции, задающей верхнюю границу трапеции.

Поэтому площадь криволинейной трапеции есть одна из первообразных функции, задающей верхнюю границу трапеции, и может быть вычислена с помощью интегрирования:



y          M                    K

             H                          E

A f(x)                          f( )

                   x

O     C                       D x

                      рис.2

Пусть . Площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рис.3, есть функция от х. Обозначим ее через S(x). Очевидно, что S(a)=0, так как при х=а заштрихованная фигура превращается в отрезок, а S(b)=S есть площадь рассматриваемой криволинейной трапеции.

Замечание. Когда говорят о непрерывности функции на промежутке , то под этим понимают непрерывность ее в каждой точке этого промежутка, в том числе в точках a и b, т.е., что при стремлении х к а и при стремлении х к b.

Используя равенство , где на промежутке , выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции (см.рис.3). Из этого равенства видно, что S(x) есть первообразная для на промежутке . Пусть – другая первообразная для на этом же промежутке. В силу основного свойства первообразной имеем .

y=f(x)

S(x)

0 a x b x

рис.3

Последнее равенство верно при всех , так как функции S(x) и определены в точках a и b. Подставив вместо x число a, получим . Но , поэтому , откуда . Таким образом, .

Подставив в последнее равенство , найдем искомую площадь:

(1)

Напомним, что приращением аргумента х при его изменении от до называется разность , а приращением функции при изменении аргумента от до называется разность .

Найдем приращение любой первообразной функции при изменении аргумента от до :

Полученный результат означает, что при изменении х от до все первообразные для данной функции имеют одно и то же приращение, равное .

Это приращение принято называть определенным интегралом.

Определение. Если – первообразная функция для , то приращение первообразных функций при изменении аргумента х от до называется определенным интегралом и обозначается символом , т.е.