Практическое занятие №3

 Интегральные показатели эффективности: PBP, DPBP, NPV

 

Период окупаемости

Метод окупаемости инвестиций заключается в вычислении периода, в течение которого доходы покрывают вложения. Период окупаемости инвестиционного проекта – это число лет, необходимых для возмещения инвестиционных расходов.

Если годовой приток денежных средств (доходы) одинаков и равен Q, а исходные инвестиции равны Р, то период окупаемости равен P/Q. На­пример, если инвестируется. 18 000 руб., а ежегодный доход равен 5 700 руб., то период окупаемости равен:

  лет.

 Если годовые доходы не одинаковы, то период окупаемости рассчитать сложнее. Приведем пример.

 

Пример 4. Вычислим период окупаемости проекта из примера 1.

 

Решение. Инвестиции в проект равны 200 тыс. руб. К концу второго года окупится 70 тыс. руб. и останется 130 тыс. руб., которые окупятся за часть третьего года, равную 130/180 = 0.72 года. Период окупаемости инвестиционного проекта равен 2 + 0.72 = 2.72 года.

 

Если рассчитанный период окупаемости больше максимально допусти­мого для фирмы, то проект отвергается, в противном случае он должен быть исследован по другим критериям.

Главный недостаток метода окупаемости состоит в том, что не учи­тываются денежные потоки после срока окупаемости. Другой недостаток этого метода заключается в том, что, как и в п. 2, даже в пределах срока окупаемости не учитывается распределение денежного потока во времени. Методы, рассмотренные в двух следующих пунктах, в полной мере учитывают распределение инвестиций и доходов во времени.

 

 

Метод чистой современной (настоящей, текущей) ценности

 

Инвестиционный проект ассоциируется с потоком платежей:

С_0,                    С_1,              С_2,  …,  С_n

в (периоды) годы t = 0,1,..., n. При этом знак C_t может быть как положительным, так и отрицательным.

В простейшем случае можно отождествлять С₀ с начальным капиталовложением I, то есть С₀ = - I < 0, a С_t при t ³ 1 считать чистым доходом от производства, связанного с этим проектом.

Каждый член потока платежей, порожденного инвестиционным про­ектом, имеет свою современную ценность в момент 0. Учитывая взаимо­связь этих платежей, важной характеристикой проекта является сумма современных ценностей в момент 0 всех членов денежного потока, начи­ная с С₁, которую называют современной ценностью инвестиционного проекта (в литературе используются также термины: современная величина, современная стоимость, капитализированная стоимость).

   (1)

 

где r — ставка дисконтирования (discount rate).

В том случае, когда учитывают и вложения С₀ в момент 0, говорят о чистой современной ценности инвестиционного проекта:

  (2)

Чистую современную ценность принято обозначать аббревиатурой NPV (от английского Net Present Value).

В качестве ставки дисконтирования r может быть принята безрисковая ставка процента или ставка прибыли для проектов той же степени риска, или средняя отраслевая норма доходности, или инфляция. Иногда за ставку дисконтирования принимается необходимая с точки зрения фирмы норма прибыли.

Если NVP проекта отрицательна, то принимать такой проект не имеет смысла. Из нескольких альтернативных проектов следует принять тот, который имеет более высокую NVP при одной и той же ставке дисконтирования. Рассмотрим пример.

 

Пример 5. Найдем чистую современную ценность инвестиционного проекта из примера 1, если ставка дисконтирования r=10%.

 

Решение. По формуле (2) получаем:

тыс. р.

Величина чистой современной ценности проекта зависит от ставки дис­контирования, то есть, NPV есть функция r. Следующий пример иллю­стрирует зависимость NPV от r.

 

Пример 6. Построим график функции NPV ® инвестиционного проекта, описанного в примере 1.

 

Решение. Вычислим по формуле (2) значения функции NPV ® при r = 0%, 20%, 30%, 40%. Результаты вычислений запишем в таблицу:

 

r %	0	10	20	30	40
NVP®	150	69.86	16.90	-19.37	-44.83

 

График функции NPV ®, построенный по найденным точкам, приве­дён на рис. 2.

Функция NVP® регулярного инвестиционного проекта является убы­вающей функцией. Это объясняется тем, что в регулярном проекте инвестиции происходят раньше доходов, то есть в моменты времени более близкие к 0, чем доходы, и потому с ростом ставки дисконтирования r инвестиции (отрицательные члены потока платежей) уменьшаются менее интенсивно, чем доходы (положительные члены потока платежей). В ре­зультате вся сумма уменьшается.

Более строго это можно пояснить следующим рассуждением. Если ставка дисконтирования r увеличивается, то множитель, 1/(1 + r) уменьшается. При этом положительные слагаемые NPV уменьшаются, а отрицательные –увеличиваются, так как уменьшается их абсолютная величина (модуль). Но положительные слагаемые уменьшаются интенсивнее, чем увеличиваются отрицательные. Это объясняется тем, что у положи­тельных слагаемых показатель степени t больше, чем у отрицательных (в регулярном потоке доходы получают позже инвестиций), следователь­но, множитель 1/(1+r)^t для положительных членов меньше, чем для отрицательных. Из сказанного следует, что график функции NPV ® регулярного инвестиционного проекта имеет вид, приведенный на рис. 2.

 

 

Рис. 2. График функции NPV ® проекта из примера 1.

 

Величина NPV® регулярного проекта зависит от принятой ставки дисконтирования. В рассмотренном примере при ставке дисконтирования      r = 20 % проект имеет положительную NPV и будет принят, а при ставке дисконтирования r = 30 % проект имеет отрицательную NPV и будет отклонен. Это, разумеется, понижает практические достоинства метода NPV. Чтобы применение этого метода было оправдано, надо очень тщательно выбирать ставку дисконтирования.

Важно понимать, что при сравнении двух проектов по критерию NPV можно прийти к разным выводам при различных ставках дисконтирования. Рассмотрим пример.

 

Пример 7. Компания рассматривает два проекта организации выпуска новой продукции в течение четырех лет: А и Б. Первоначальные вложения по обоим проектам одинаковы и равны 23616 руб., а доходы различны. По проекту А ежегодно в течение четырех лет будет получен доход по 10000 руб. в год. По проекту Б в первый год дохода не будет, во второй год будет получено 5000 руб. дохода, в третий год – 10000 руб., а в четвертом году доход будет равен 32675 руб.

Построим график функции NPV ® этих проектов и сравним их по критерию NPV при различных значениях ставки дисконтирования r.

 

Решение. Изобразим оба проекта на осях времени:

 

               -23616 10000 10000  10000  10000

Проект А:

0     1             2     3           4          t лет

              -23616    0       5000  10000  32675

Проект Б:

0     1             2     3           4          t лет

 

Применяя формулу (2), вычислим значения функции NPV ® обоих проектов при различных значениях r. Результаты вычислений приведены в следующей таблице:

 

r %	NPVА ®	NPVБ ®
0 10 20 30 50	16384 8083 2271 -1954 -7567	24059 10347 1400 -4665 -11976

 

Графики функций NPV ® обоих проектов, построенные по найден­ным точкам, приведены на рис. 13. Эти графики пересекаются в точке с абсциссой, приблизительно равной 17%.

Таким образом, мы видим, что если NPV этих проектов вычислены при ставке дисконтирования, меньшей 17%, например, при r = 10%, то следует предпочесть проект Б, так как NPV проекта Б при этой ставке дисконтирования больше, чем NPV проекта А:

NPV_A (10 %) = 10347 > 8083 = NPV_Б (10 %).

Если же NPV этих проектов вычислены при ставке дисконтирования, большей 17 %, например, при r = 20 %, то следует предпочесть проект А, так как NPV проекта А при этой ставке дисконтирования больше, чем у проекта Б:

NPV_A (20 %) = 2271 > 1400 = NPV_Б (20 %).

 

Если инвестиционный проект не является регулярным, то функция NPV ® может быть возрастающей при всех допустимых значениях r, или возрастающей на одних промежутках значений r и убывающей на других. Приведем примеры.

 

Рис. 3. Графики функции NPV ® проектов из примера 7.

 

 

Пример 8. Рассмотрим два нерегулярных инвестиционных проек­та и построим для них графики функции NPV ®.

По проекту А в момент 0 инвестор берет кредит в банке в размере 1000 руб. Используя эти деньги в биржевых операциях, в течение первого года он зарабатывает 3600 руб., которые вкладывает в проект. К концу второго года инвестор получит 4320 руб. дохода, а в третьем году понесет 1728 руб. убытка.

По проекту Б инвестор вкладывает в момент 0 в строительство шахты 4000 руб. В течение первого года он получает 25000 руб. дохода, но во втором году запасы полезных ископаемых заканчиваются, и он вынужден вложить 25000 руб. в рекультивацию земли.

 

Решение. Изобразим оба проекта на оси времени:

 

  1000      -3600       4320         -1728

А:

0                 1                 2          3               t лет

 

 

-4000      25000       -25000             

Б:

0                 1                 2                               t лет

 

 

Функция NPV ® проекта А имеет вид:

Найдем производную этой функции:

 

При всех положительных r ¹ 1/5 производная функция NPV ® положительна, следовательно, функция NPV ® является возрастающей при этих значениях r. В точке r = 1/5 функция имеет перегиб. Вычислим значение функции в этой точке:

NPV (1/5) = NPV (20 %) = 0

 

Рис. 4. График функции NPV ® проекта А из примера 8.

 

Найдем еще несколько значений функции NPV ® проекта А:

 

r %	0	5	20	30	50
NPV ®	-8	-3	0	0,45	8

 

График функции NPV ® проекта А приведен на рис. 4.

Функция NPV ® проекта Б имеет вид:

Найдем производную этой функции:

Критическая точка функции r = 1. Исследуем ее на экстремум.

(NPV ®)¢               +                                       -

NPV ®                                 1                                                        r

 

Так как при r < 1 функция возрастает, а при r > 1 — убывает, то в точке r = 1 функция имеет максимум:

NPV (1) = - 4000 + 12500 – 6250 = 2250

Преобразуем функцию NPV ® проекта Б:

Найдем корни этой функции:

-4r² + 17r – 4 = 0, откуда имеем r₁ = 4,0 = 400 %, r₂ = 0,25 = 25 %.

Для построения графика вычислим еще значение функции при r = 0:

NPV (0) = - 4000 + 25000 – 25000 = - 4000

График функции NPV® проекта Б приведён на рис. 5.

 

Рис. 5.График функции NPV® проекта Б из примера 8.