Практическое занятие №4

 Интегральные показатели эффективности: PI, IRR, MIRR

 

 

Метод внутренней нормы доходности

Внутренняя норма доходности проекта есть процентная ставка, при дисконтировании по которой чистая современная ценность проекта равна нулю. Внутреннюю норму доходности обычно обозначают аббревиатурой IRR (от английского Internal Rate of Return).

Если инвестиционный проект состоит из потока платежей:

С₀, С₁, С₂, …, С_п,

и платеж С_t происходит в год t (t = 0, 1, …, n), то внутренняя норма доходности r является корнем уравнения:

                                                   (10.3)

Если вспомнить, что платежи C_t равны разности между доходами и инвестициями в год t, то внутренняя норма доходности инвестиционного проекта есть ставка дисконтирования, при которой в момент 0 уравниваются современные ценности планируемых инвестиций и ожидаемых доходов.

Каков экономический смысл внутренней нормы доходности проекта? Если NPV(r) = 0, то это значение r (оно и есть внутренняя норма доходности, то есть IRR) приближенно равно истинной норме доходности на инвестиции данного проекта, вычисленной с учетом времени поступления платежей. Это легко показать на примере проекта, состоящего из одной инвестиции С₀ (С₀ < 0) и одного платежа C₁ (C₁ > 0). В этом случае IRR является корнем уравнения:

.

Из этого уравнения находим:

.

Величина С₁ - |С₀| является чистым доходом от реализации проекта, | С₀ | - размер инвестиций, следовательно, дробь

равна норме дохода на инвестиции.

Для оценки проекта по критерию IRR сравнивают внутреннюю норму доходности проекта с требуемой инвестором нормой прибыли, которую называют ставкой отсечения или пороговой ставкой. Ставка отсечения устанавливается фирмой в зависимости от целей, которые она ставит пе­ред собой. Например, в качестве ставки отсечения может быть принята средняя норма прибыли для проектов той же степени риска, что и дан­ный проект или более высокая ставка. Если внутренняя норма доходности проекта ниже, чем ставка отсечения, то проект отвергается, в противном случае принимается.

 

Пример 9. Вычислим внутреннюю норму доходности проекта, описанного в примере 1.

Решение. Внутренняя норма доходности r данного проекта является корнем уравнения:

Для решения этого уравнения можно применить метод линейной интерполяции или электронными таблицами Excel.

При решении примера 6 мы вычислили:

NPV (20 %) = NPV (0,2) = 16,90

NPV (30 %) = NPV (0,3) = - 19,37

Следовательно, в качестве начального приближения к корню уравнения можно использовать

Выполнив команду в Excel “Подбор параметра”, получим, что корнем уравнения является r = 0,24.

Описанный проект не будет принят, если внутренняя ставка доходно­сти 24% будет ниже ставки отсечения, например, если ставка отсечения равна 25%. Если ставка отсечения меньше 24%, то данный проект может быть принят.

Если проект не является регулярным, то применение критерия вну­тренней нормы доходности затруднено.

Если функция NPV(r) является возрастающей (например, проект А в примере 7), то критерий IRR следует изменить: проект отвергает­ся, если его IRR больше ставки отсечения, и не отвергается в противном случае.

Если функций NPV (r) имеет несколько корней (как проект Б в при­мере 7), то применение критерия IRR становится невозможным.

 

Сравните критериев NPV и IRR

 

Сначала отметим сильные и слабые стороны критерия NPV. Этот критерий имеет то несомненное достоинство, что он дает оценку инвестицион­ного проекта непосредственно в денежных единицах и потому нагляден. Кроме того, вычисление величины NPV проекта не представляет ника­ких трудностей. Очень дискредитирует этот метод жесткая зависимость NPV от ставки дисконтирования. Как выбрать эту ставку, чтобы NPV проекта соответствовала реальным возможностям проекта? Мы видели, что необоснованное увеличение ставки дисконтирования приводит к сни­жению NPV проекта, вплоть до отрицательных значений. При этом мо­жет быть отвергнут хороший проект. Но и чрезмерное уменьшение ставки дисконтирования не приведёт ни к чему хорошему: NPV проекта будет завышена, и надежды на большой доход от такого проекта не оправдаются при его реализации. Где золотая середина? Ответ на этот непростой вопрос дают продвинутые курсы финансового менеджмента и корпоративных финансов.

Охарактеризуем теперь критерий IRR в целом, отметив его положительные и отрицательные качества. Несомненным достоинством критерия IRR  является то, что он не связан с какой-либо ставкой дисконтирования или с другой, внешней для проекта информацией. Этот критерий, дей­ствительно, является внутренней характеристикой инвестиционного проекта. Но вычисленная для данного проекта ставка IRR сравнивается со ставкой отсечения, выбор которой зависит от квалификации экономиста, который оценивает данный проект.

К недостаткам критерия IRR следует отнести и то, что, как мы видели, он применим только к регулярным инвестиционным проектам. Кроме того, этот критерий, в отличие от NPV, не учитывает масштаб проекта.

Для регулярного инвестиционного проекта решение о его приемлемости по критерию NPV и по критерию IRR совпадают, если ставка отсечения совпадает со ставкой дисконтирования, по которой была вычислена NPV, и обе они равны средней норме доходности r подобных проектов. В этом случае, если `r < IRR, то NPV > 0, что следует из того, что функ­ция NPV убывает по r. Оба критерия в этом случае приводят к выводу о том, что проект должен быть принят. Если r > IRR, то NPV < 0, и по обоим критериям следует отвергнуть проект. Рассмотрим пример.

 

Пример 10. Обратимся опять к примеру 1. Будем считать, что средняя норма доходности для подобных инвестиционных проектов равна 10%. Сравним оценки этого проекта по критериям NPV и IRR.

 

Решение. Как мы видели при решении примера 5, NPV данного проекта при r = 10% положительна, и он должен быть принят. При ре­шении примера 9 была вычислена внутренняя норма доходности этого проекта: IRR = 24%. Если в качестве ставки отсечения принято r = 10%, то IRR > `r и проект должен быть принят и по критерию IRR.

При сравнении двух альтернативных проектов выбор проекта по критерию NPV может не совпадать с выбором по критерию IRR.. Вернемся к примеру 7 и продолжим вычисления.

 

Пример 11. Вычислим внутренние нормы доходности проектов А и Б из примера 7. Сравним эти проекты по критерию NPV при разных значениях r.

Решение. Внутренняя норма доходности IRR  проекта А является корнем уравнения:

Применяя любой из предложенных ранее способов, находим, что IRR проекта А равна 25 %.

Внутренняя норма доходности IRR  проекта Б является корнем уравнения:

 

Применяя любой из предложенных ранее способов, находим, что IRR проекта Б равна 22 %.

Запишем полученные результаты и результаты решения примера 7 в виде таблицы:

 

	Проект А	Проект Б
NPV(10 %) NPV(20 %) IRR	8083 2271 25 %	10347 1400 22 %

 

Из приведенной таблицы видно, что по критерию NPV при ставке дисконтирования 10 % следует предпочесть проект Б, а по критерию IRR - проект А. Картина меняется, и сравнение проектов дает один и тот же результат по обоим критериям, если ставка дисконтирования при вычислении NPV равна 20%.