ЛОДУ-2 с постоянными коэффициентами

 

Общий вид ЛОДУ-2     

,                                      (1)

где  

Будем искать решение этого уравнения в виде .

Подставим в уравнение (1):

                  (2)

Уравнение (2) называется характеристическим уравнением.

В зависимости от значений корней характеристического уравнения возможны следующие три случая:

 1. Корни уравнения  и   действительные и .

Тогда, очевидно, что  и . Эти решения ЛНЗ, так как  

В этом случае общее решение примет вид

        .                           (3)

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Составим характеристическое уравнение:

Воспользуемся формулой (3):

.

 2. Корни  и  действительные и

Тогда в качестве первого частного решения можно взять . Покажем, что в этом случае, является решением также функция . Подставим  её в уравнение и с учетом теоремы Виета, получим

.

Эти решения ЛНЗ, так как  

В этом случае общее решение примет вид

.                           (4)

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Составим характеристическое уравнение 

Воспользуемся формулой (4) 

.

 3. Корни комплексно-сопряженные, т.е. .

Вначале покажем, что если  является решением уравнения (1), то этому уравнению удовлетворяют функции u и v. Подставим  в уравнение (1) и выделим действительную и мнимую части:

Подчеркнутый член и выражение в скобках равны нулю.

Итак, в этом случае частные решения имеют вид

и .

Если воспользоваться формулой Эйлера, которая будет доказана позже,

,

то

 

 и, как показано выше, решениями уравнения (1) будут являться функции:

Очевидно, линейно-независимыми среди них будут

,

Так как

Окончательно, общее решение будет иметь вид

.                    (5)

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Составим характеристическое уравнение:

Воспользуемся формулой (5):

.