Уравнения в полных дифференциалах

 

Определение 5. Уравнение вида , называется уравнением в полных дифференциалах, если

,                                               (3)

где частные производные непрерывны в некоторой области.

Покажем, что равенство (3) является условием полного дифферен-циала.

Теорема. Если  полный дифференциал некоторой функции , то выполняется условие (3). Верно и обратное.

Пусть выражение  является полным дифференциалом. Это означает, что , так как

.

Продифференцировав первое полученное выражение по у, а второе     по х, получим

.

Обратно. Пусть выполняется условие (3). Требуется найти функцию , которая должна удовлетворять условиям:

.

Интегрируя первое из них, получим

где  является фиксированной точкой из области определения функций  и , а  - произвольная функция. Теперь продифференцируем это выражение:

и воспользуемся условием (3)  

откуда

и .

Таким образом, функция   найдена

.                    (4)

Теорема доказана. Возвращаемся к уравнению в полных дифферен-циалах.  Если  выполняется  условие   (3), то  согласно  теореме  имеем

 - общий интеграл.

С учётом формулы (4) окончательно определяем общий интеграл уравнения в полных дифференциалах

.                              (5)

Пример 4. Решить задачу Коши

Проверим выполнение условия (3):

,

т.е. имеем уравнение в полных дифференциалах. По формуле (5) получаем 

или

.

Приведём подобные члены и соберём все константы в одну:

.

Значение константы С определим из начального условия: .

Тогда решение задачи Коши будет иметь вид

.

 

ДУ высших порядков

 

3.1. Определение ДУ п -го порядка 

 

Общий вид дифференциального уравнения п -го порядка (ДУ- п):   

,                                (1)

или разрешенного относительно старшей производной:

.

Для поиска частного решения необходимо задать начальные условия:

.           (2)

Определение 1. Общим решением или интегралом уравнения (1) назы-вается функция  или  соответст-венно, которая:

1. Удовлетворяет уравнению при любых значениях произвольных посто-янных .

2. При любых заданных начальных условиях (2) из области определения можно найти такие , что функция  или  соответственно будет удовлетворять условиям (2).

3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка

 

3.2.1. .

Для нахождения решения данного уравнения необходимо проинтегри-ровать его п раз.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Проинтегрируем уравнение три раза:

3.2.2.  (нет у).

При помощи замены  уравнение принимает вид

.

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

После замены  уравнение принимает вид

Это линейное уравнение, поэтому используем подстановку  

Тогда получим

и

Так как , то

.

Интегрируя, окончательно получаем

3.2.3.  (нет х).

При помощи замены   …

уравнение принимает вид

.

Пример 3. Решить задачу Коши .

После замены   получим уравнение с разде-ляющимися переменными: 

Проинтегрируем:

.

Воспользуемся начальными условиями

Разрешим уравнение относительно  и разделим переменные

Проинтегрируем

Из начальных условий находим  и, окончательно, получаем частное решение