Определение 5. Уравнение вида , называется уравнением в полных дифференциалах, если
, (3)
где частные производные непрерывны в некоторой области.
Покажем, что равенство (3) является условием полного дифферен-циала.
Теорема. Если полный дифференциал некоторой функции , то выполняется условие (3). Верно и обратное.
Пусть выражение является полным дифференциалом. Это означает, что , так как
.
Продифференцировав первое полученное выражение по у, а второе по х, получим
.
Обратно. Пусть выполняется условие (3). Требуется найти функцию , которая должна удовлетворять условиям:
.
Интегрируя первое из них, получим
где является фиксированной точкой из области определения функций и , а - произвольная функция. Теперь продифференцируем это выражение:
и воспользуемся условием (3)
откуда
и .
Таким образом, функция найдена
. (4)
Теорема доказана. Возвращаемся к уравнению в полных дифферен-циалах. Если выполняется условие (3), то согласно теореме имеем
|
|
- общий интеграл.
С учётом формулы (4) окончательно определяем общий интеграл уравнения в полных дифференциалах
. (5)
Пример 4. Решить задачу Коши
Проверим выполнение условия (3):
,
т.е. имеем уравнение в полных дифференциалах. По формуле (5) получаем
или
.
Приведём подобные члены и соберём все константы в одну:
.
Значение константы С определим из начального условия: .
Тогда решение задачи Коши будет иметь вид
.
ДУ высших порядков
3.1. Определение ДУ п -го порядка
Общий вид дифференциального уравнения п -го порядка (ДУ- п):
, (1)
или разрешенного относительно старшей производной:
.
Для поиска частного решения необходимо задать начальные условия:
. (2)
Определение 1. Общим решением или интегралом уравнения (1) назы-вается функция или соответст-венно, которая:
1. Удовлетворяет уравнению при любых значениях произвольных посто-янных .
2. При любых заданных начальных условиях (2) из области определения можно найти такие , что функция или соответственно будет удовлетворять условиям (2).
3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
3.2.1. .
Для нахождения решения данного уравнения необходимо проинтегри-ровать его п раз.
Пример 1. Найти общее решение уравнения .
Проинтегрируем уравнение три раза:
3.2.2. (нет у).
При помощи замены уравнение принимает вид
.
Пример 2. Найти общее решение уравнения .
После замены уравнение принимает вид
Это линейное уравнение, поэтому используем подстановку
|
|
Тогда получим
и
Так как , то
.
Интегрируя, окончательно получаем
3.2.3. (нет х).
При помощи замены …
уравнение принимает вид
.
Пример 3. Решить задачу Коши .
После замены получим уравнение с разде-ляющимися переменными:
Проинтегрируем:
.
Воспользуемся начальными условиями
Разрешим уравнение относительно и разделим переменные
Проинтегрируем
Из начальных условий находим и, окончательно, получаем частное решение