2020-06-30
160
4.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка (ЛОДУ-2). Определитель Вронского и его свойства
Общий вид
, (3)
где 
и 
непрерывные на некотором отрезке 
функции.
Определение 2. Функции 
и 
называются линейно зависи-мыми (ЛЗ) на 
, если 
, где, по крайней мере, одно из них отличное от нуля, и для которых выполняется равенство 
или, если 
, то 
, т.е. 
В противном случае, функции 
и называются линейно независимыми (ЛНЗ).
Например, функции 
и 
- ЛЗ, так как 
, а функции 
и 
- ЛНЗ, так как 
Для выяснения ЛЗ или ЛНЗ решений уравнения (3) используется определитель Вронского
,
что следует из теорем:
Теорема 1. Если функции и линейно зависимы (ЛЗ) на , то определитель Вронского 
.
Так как , то
.
Теорема 2. Если определитель Вронского, составленный из решений уравнения (3), при некотором 
отличен от нуля, т.е. 
то 
Так как и решения уравнения (3), то
Первое равенство умножим на 
, второе на 
и сложим полученные результаты. С учётом, что
,
получим уравнение с разделяющимися переменными
Найдём его решение, удовлетворяющее начальному условию 
(4)
или
.
Формула (4) называется формулой Лиувилля. Из неё видно, что если
то 
.
Замечание 1. Из формулы (4) также следует, что если при некотором. 
Замечание 2. По формуле Лиувилля, зная одно из решений ЛОДУ-2, можно найти другое. Разделив обе части равенства (4) на 
получим
Теорема 3. Если решения ЛОДУ-2 (3) ЛНЗ на 
, то 
.
Предположим обратное, т.е. 
при некотором 
. Тогда по теореме 2 
. Предположим, что 
(в противном случае определитель Вронского тождественно равен нулю), тогда имеем равенство
т.е. функции 
и линейно зависимы. Полученное противоречие доказывает теорему.
4.2. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ-2
Теорема 4. Если функции 
и - два ЛНЗ решения уравне-ния (3), то его общее решение имеет вид 
, где 
и 
произвольные константы.
Вначале покажем, что 
является решением уравнения (3), для чего подставим его в (3) и сгруппируем члены при 
и 
:
.
Далее покажем, что для любых начальных условий вида 
можно найти значения 
и , при которых такое решение удовлетворяло бы им.
Подставим в эти условия , тогда получим систему для определения значений 
и
. (5)
с определителем Вронского
так как и - ЛНЗ решения уравнения (3).
Из решения системы (5) определяем и 
. Таким образом,
является общим решением уравнения (3).
