Рассмотрим ДУ-1 (3). Если , то уравнение (3) можно пред-ставить в виде
.
Если к тому же
,
то
. (6)
Пусть в уравнении (6) выполняются условия:
,
тогда оно примет вид
. (7)
Определение 5. Уравнение (7) называется уравнением с разделяющи-мися переменными.
Разделим уравнение (7) на произведение , тогда получим
(8)
Интегрируя уравнение (8), получим его общий интеграл
(9)
Замечание 2. Особого внимания требуют точки, где обращаются в нуль функции и . Пусть, например, . Тогда уравнение (7) наряду с решением (9) имеет и решение . Аналогично, если , то является решением уравнения (7).
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
Преобразуем уравнение:
или
,
при этом . Интегрируя уравнение, получим
или
К этому решению нужно добавить решение вида , а решение вида входит в общее решение при . Окончательно, имеем
Пример 4. Решить задачу о радиоактивном распаде вещества:
|
|
Разделим переменные:
Интегрируя, получим
или .
Если известна начальная масса M 0 при , тогда
и .
Определим коэффициент k из наблюдений. Пусть за время t 1 масса вещества стала равной M 1. Тогда
или
Таким образом, получили конкретный вид закона изменения заданной массы радиоактивного вещества в зависимости от времени.
Однородные уравнения
Определение 1. Функция называется однородной функцией, если выполняется .
Например, функция является однородной, так как
.
Определение 2. Уравнение вида называется однородным уравнением, если однородная функция.
Покажем, что решение однородного уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными.
По условию . Положим в этом тождестве , тогда
и уравнение примет вид
.
Сделаем замену и .
Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными
или .
Интегрируя его, а затем, подставляя , находим решение.
Замечание. Аналогично, как и для уравнений с разделяющимися переменными, если , то однородное уравнение обладает решением или .
Пример 1. Определить кривую, проходящую через точку , если подкасательная АВ любой её точки есть среднее арифметическое координат.
Если - текущая точка у
кривой, то по условию задачи,
получаем уравнение
у
Получили однородное урав-
нение, поэтому сделаем замену О А В х
и .
Тогда уравнение примет вид
|
|
.
Разделяем переменные
и интегрируем
.
Выполнив обратную замену , имеем
.
Окончательно, учитывая, что кривая проходит через заданную точку и подставляя в общее решение ее координаты
находим и получим искомое уравнение кривой
.
2.4. Линейные уравнения первого порядка (ЛУ–1)
Определение 3. Уравнение вида , где и непрерывные на функции, называется линейным.
Его решение будем искать в виде
. (1)
Продифференцируем выражение (1), а, затем подставим в ЛУ-1, получим
. (2)
Функцию выберем из условия
.
Проинтегрируем это уравнение
.
Тогда уравнение (2) примет вид
.
Окончательно, имеем
.
Пример 2. Найти общее решение уравнения .
Решение ищем в виде . Тогда для функции получаем уравнение
а для функции -
Окончательно, имеем
.
Уравнения Бернулли
Определение 4. Уравнение вида , где , называется уравнением Бернулли.
Отметим, что при оно становится линейным, а при - уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому в дальнейшем эти случаи не рассматриваем.
Покажем, что уравнение Бернулли путём замены , приводится к линейному. Действительно,
.
Таким образом, уравнения Бернулли интегрируются аналогично как линейные.
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
Разделим данное уравнение на и получим уравнение Бернулли
.
Здесь . Решение ищем в виде . Тогда
.
Для функции получаем уравнение
,
а для функции -
Проинтегрируем это уравнение, тогда .
Таким образом, общее решение имеет вид
.