2020-06-30
85
Рассмотрим ДУ-1 (3). Если 
, то уравнение (3) можно пред-ставить в виде
.
Если к тому же
,
то
. (6)
Пусть в уравнении (6) выполняются условия:
,
тогда оно примет вид
. (7)
Определение 5. Уравнение (7) называется уравнением с разделяющи-мися переменными.
Разделим уравнение (7) на произведение 
, тогда получим
(8)
Интегрируя уравнение (8), получим его общий интеграл
(9)
Замечание 2. Особого внимания требуют точки, где обращаются в нуль функции 
и 
. Пусть, например, 
. Тогда уравнение (7) наряду с решением (9) имеет и решение 
. Аналогично, если 
, то 
является решением уравнения (7).
Пример 3. Найти общее решение уравнения 
.
Преобразуем уравнение:
или
,
при этом 
. Интегрируя уравнение, получим
или
К этому решению нужно добавить решение вида 
, а решение вида 
входит в общее решение при 
. Окончательно, имеем
Пример 4. Решить задачу о радиоактивном распаде вещества:
Разделим переменные: 
Интегрируя, получим
или 
.
Если известна начальная масса M 0 при 
, тогда
и 
.
Определим коэффициент k из наблюдений. Пусть за время t 1 масса вещества стала равной M 1. Тогда
или 
Таким образом, получили конкретный вид закона изменения заданной массы радиоактивного вещества в зависимости от времени.
Однородные уравнения
Определение 1. Функция 
называется однородной функцией, если 
выполняется 
.
Например, функция 
является однородной, так как
.
Определение 2. Уравнение вида 
называется однородным уравнением, если 
однородная функция.
Покажем, что решение однородного уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными.
По условию 
. Положим в этом тождестве 
, тогда
и уравнение примет вид
.
Сделаем замену 
и 
.
Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными
или 
.
Интегрируя его, а затем, подставляя 
, находим решение.
Замечание. Аналогично, как и для уравнений с разделяющимися переменными, если 
, то однородное уравнение обладает решением 
или 
.
Пример 1. Определить кривую, проходящую через точку 
, если подкасательная АВ любой её точки есть среднее арифметическое координат.
Если 
- текущая точка у
кривой, то по условию задачи,
получаем уравнение 
у
Получили однородное урав- 
нение, поэтому сделаем замену О А В х
и 
.
Тогда уравнение примет вид
.
Разделяем переменные
и интегрируем
.
Выполнив обратную замену 
, имеем
.
Окончательно, учитывая, что кривая проходит через заданную точку и подставляя в общее решение ее координаты
находим 
и получим искомое уравнение кривой
.
2.4. Линейные уравнения первого порядка (ЛУ–1)
Определение 3. Уравнение вида 
, где 
и 
непрерывные на 
функции, называется линейным.
Его решение будем искать в виде
. (1)
Продифференцируем выражение (1), а, затем подставим в ЛУ-1, получим
. (2)
Функцию 
выберем из условия
.
Проинтегрируем это уравнение
.
Тогда уравнение (2) примет вид
.
Окончательно, имеем
.
Пример 2. Найти общее решение уравнения 
.
Решение ищем в виде 
. Тогда для функции получаем уравнение
а для функции 
-
Окончательно, имеем
.
Уравнения Бернулли
Определение 4. Уравнение вида 
, где 
, называется уравнением Бернулли.
Отметим, что при 
оно становится линейным, а при 
- уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому в дальнейшем эти случаи не рассматриваем.
Покажем, что уравнение Бернулли путём замены 
, приводится к линейному. Действительно,
.
Таким образом, уравнения Бернулли интегрируются аналогично как линейные.
Пример 3. Найти общее решение уравнения 
.
Разделим данное уравнение на 
и получим уравнение Бернулли
.
Здесь 
. Решение ищем в виде 
. Тогда
.
Для функции 
получаем уравнение
,
а для функции -
Проинтегрируем это уравнение, тогда 
.
Таким образом, общее решение имеет вид
.
