2020-06-29
110
10.4.1. Вычислить тройные интегралы:
а) 
; б) 
, где 
– область, ограниченная плоскостями 
, 
, 
и 
; в) 
, где область 
ограничена гиперболическим параболоидом 
и плоскостями 
и 
(
).
10.4.2. Вычислить при помощи тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями: а) 
, 
, 
, 
; б) 
, 
, 
, 
, 
; в) 
; 
, , 
, 
.
10.4.3. Найти центр масс однородного тела, ограниченного цилиндрами 
, 
и плоскостями 
и 
.
10.4.4. Вычислить массу тела, ограниченного прямым круговым цилиндром радиуса 
и высоты 
, если его плотность в любой точке численно равна квадрату расстояния этой точки от центра основания цилиндра.
Ответы. 10.4.1. а) 
; б) 
; в) 
. 10.4.2. а) 
; б) 
; в) 
. 10.4.3. 
. 10.4.4. 
.
ЧАСТЬ Б)
(ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ)
ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
Цилиндрические координаты — это 
, где 
— аппликата точки, а 
— полярные координаты проекции этой точки на координатную плоскость 
. Таким образом, 
, а 
. Произведение дифференциалов при переходе от декартовых координат к цилиндрическим заменяется по правилу 
(ср. п. 9.2), а интегрирование обычно производится в таком порядке:
|
|
|
.
Здесь 
и 
— переписанные в цилиндрических координатах уравнения нижней 
и верхней 
границ области интегрирования 
(рис. 10.1), т. е. 
, 
.
|
| Рис. 11.1 |
Сферические координаты для точки с декартовыми координатами 
определяются так: 
— расстояние от начала отсчета до этой точки, 
— угол между проекцией радиус-вектора точки на плоскость 
и осью 
и 
— угол между радиус-вектором точки и осью 
(см. рис. 11.1). Связь между декартовыми и сферическими координатами точки выражается формулами:
, 
, 
. Произведение дифференциалов при переходе к сферическим координатам заменяется по правилу
.
Очевидно, что 
, 
, 
(или 
). Предпочтительный порядок интегрирования — внутреннее по 
, промежуточное по 
и внешнее по углу :
.
Заметим, что иногда угол отсчитывают не от оси , а от плоскости 
. Тогда 
, и во всех приведенных формулах надо заменить 
на 
, а 
— на .
