2020-06-29
147
11.3.1. В тройном интеграле 
перейти к цилиндрическим или сферическим координатам, если 
: а) область, ограниченная цилиндром 
, плоскостью 
и параболоидом 
; б) часть шара 
при 
, 
, 
; в) общая часть двух шаров 
и 
.
11.3.2. Вычислить с помощью перехода к цилиндрическим или сферическим координатам: а) 
; б) 
, где область 
задается неравенствами , 
.
11.3.3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: а) 
, 
; б) 
и 
(внутри конуса).
11.3.4. Найти центр масс однородного тела, ограниченного поверхностью 
.
Ответы. 11.3.1. а) 
;
б) 
;
в) 
.
11.3.2. а) 
; б) 
.
11.3.3. а) 
; б) 
(внутри сферы); 
(вне сферы).
11.3.4. 
.
ЧАСТЬ В)
ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА
Вычисление площади поверхности
|
| Рис. 12.1 |
Площадь поверхности 
, заданной уравнением 
, можно вычислить как интеграл от элемента площади 
: 
. Сведем интеграл по поверхности к двойному интегралу по ее проекции на плоскость 
(область 
на рис. 12.1). Элемент площади в декартовой прямоугольной системе — это произведение дифференциалов 
. Единичную нормаль к поверхности в произвольной точке запишем в виде 
, где 
, 
, 
– углы, которые нормаль составляет с осями координат. По известной формуле, связывающей площадь плоской фигуры и ее проекции на некоторую плоскость, 
. Здесь 
, а элемент можно считать плоским из-за бесконечной малости. Нормаль к поверхности 
, составляющую острый угол с осью 
, находим по формуле 
(см. [1], п. 21.1):
.
Элемент площади поверхности задается формулой 
, а площадь поверхности вычисляется при помощи двойного интеграла 
.
В качестве примера найдем площадь полусферы радиуса 
. Уравнение полусферы с центром в точке 
, отсюда 
. Таким образом, элемент площади сферы равен 
. Площадь равна интегралу 
, где 
– круг 
. Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам:
.
Площадь полной поверхности сферы равна 
.
Отметим, что элемент площади в сферических координатах имеет вид 
, где 
— уравнение поверхности 
.
