Пусть – первообразная для на , тогда
Таким образом, сходится конечный предел первообразной
Примеры.
,
Рис. 10
Рис. 11
3.
Рис. 12
4.
Исследование несобственных интегралов 1-го рода на сходимость.
Рис. 13 |
1. Признак сравнения.
Пусть
a. Если сходится, то также сходится (см. рис. 13).
b. Если расходится, то также расходится.
2. Предельный признак сравнения:
пусть для и при , т.е. .
Тогда и оба сходятся или оба расходятся.
3. Если сходится , то сходится и (обратное неверно!).
В качестве «образцов» интегралов для сравнения обычно используются интегралы
(a>0).
Примеры.
1. .
при расходится исходный интеграл расходится по предельному признаку.
При ; ; ,
; интеграл сходится по предельному признаку.
3.
Т.к. при (логарифм растет медленней степенной функции), то исходный интеграл сходится по признаку сравнения.
.
– сходится сходится по признаку 3.
Несобственные интегралы 2-го рода
|
|
Рис. 14 |
Опр. Несобственным интегралом 2 рода по от функции , неограниченной в окрестности точки , называется предел
Если существует конечный предел (1.8.2), то несобственный интеграл 2-го рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Геометрический смысл:
при – площадь фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 15).
Рис. 15
– несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой .
– несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой
Рис. 16
Свойство линейности.
Если , сходятся, то сходятся интегралы
.