1. Линейность
Пусть функции и интегрируемы на Тогда
a. функция интегрируема на и
b. функция () интегрируема на и
Док-во:
a. составим интегральную сумму для функции
Тогда
b. Аналогично
Тогда
2. Аддитивность (см. рис. 3).
Пусть функция интегрируема на , точка , тогда
Док-во:
Рассмотрим разбиение отрезка такое, что для некоторого . Ему соответствуют разбиения отрезков и , соответственно, и
Рис. 3 |
Т.е.
Замечание. Если , то по определению ,
. Тогда равенство (1.4.1) справедливо при любом взаимном расположении точек ,
Теорема (об оценке определенного интеграла)
Пусть интегрируема на , .
Тогда
.
Док-во: . Т.к. , то ,
При получим
Рис. 4 |
(площаль криволинейной трапеции заключна между площадьми прямоугольников высотой m и M.) (см. рис. 4).
Следствиe (интегрирование неравенства).
Пусть на , тогда .
Док-во: рассмотрим функцию на . Возьмем . По теореме об оценке
Пример.
т.к. , то . По теореме об оценке
Теорема (о среднем значении для определенного интеграла).
Пусть непрерывна на . Тогда такая, что .
Док-во: т.к. непрерывна на , то она достигает на своего наибольшего и наименьшего значений , По теореме об оценке , (равенство возможно только для т.е. для непрерывных функций, отличных от константы . По теореме о промежуточном значении непрерывной функции: . Возьмем .
Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть интегрируема на . Зафиксируем . Рассмотрим определенный интеграл по :
– определенный интеграл с переменным верхним пределом (см. рис. 5).
Теорема (о производной интеграла с переменным верхним пределом).
Пусть непрерывна на . Тогда
Рис. 5 |
При , (т.к. – непрерывная функция) т.е.
Следствие: если непрерывна на , то на существует ее первообразная . Любая первообразная имеет вид .
Пример.
– первообразная для (не выражается через элементарные функции, интеграл – неберущийся).