2020-07-12
135
1. Линейность
Пусть функции 
и 
интегрируемы на 
Тогда
a. функция 
интегрируема на 
и 
b. функция 
(
) интегрируема на и 
Док-во:
a. составим интегральную сумму для функции 
Тогда
b. Аналогично
Тогда
2. Аддитивность (см. рис. 3).
Пусть функция 
интегрируема на , точка 
, тогда
Док-во:
Рассмотрим разбиение 
отрезка 
такое, что 
для некоторого 
. Ему соответствуют разбиения отрезков 
и 
, соответственно, 
и 
| Рис. 3 |
Т.е.
Замечание. Если 
, то по определению 
,
. Тогда равенство (1.4.1) справедливо при любом взаимном расположении точек 
, 
Теорема (об оценке определенного интеграла)
Пусть интегрируема на , 
.
Тогда
.
Док-во: 
. Т.к. 
, то 
, 
При 
получим 
| Рис. 4 |
Геометрическая интерпретация:
(площаль криволинейной трапеции заключна между площадьми прямоугольников высотой m и M.) (см. рис. 4).
Следствиe (интегрирование неравенства).
Пусть 
на , тогда 
.
Док-во: рассмотрим функцию 
на . Возьмем 
. По теореме об оценке
Пример.
т.к. 
, то 
. По теореме об оценке 
Теорема (о среднем значении для определенного интеграла).
Пусть непрерывна на . Тогда 
такая, что 
.
Док-во: т.к. непрерывна на , то она достигает на своего наибольшего и наименьшего значений 
, 
По теореме об оценке 
, (равенство возможно только для 
т.е. для непрерывных функций, отличных от константы 
. По теореме о промежуточном значении непрерывной функции: 
. Возьмем 
.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть интегрируема на . Зафиксируем 
. Рассмотрим определенный интеграл по 
:
– определенный интеграл с переменным верхним пределом (см. рис. 5).
Теорема (о производной интеграла с переменным верхним пределом).
Пусть непрерывна на . Тогда 
| Рис. 5 |
Док-во: 
, где 
При 
, (т.к. 
– непрерывная функция) т.е. 
Следствие: если непрерывна на , то на существует ее первообразная 
. Любая первообразная имеет вид 
.
Пример.
– первообразная для 
(не выражается через элементарные функции, интеграл – неберущийся).
