Разделим на (при – решение):
Пусть , тогда ,
Подставим в ДУ:
Пример.
(ДУ Бернулли при ; – решение).
Разделим на
Замена
Подставим, получим
.
Решая методом вариации постоянной, получим
, т.е.
и
.
2.4. ДУ n-го порядка. Частные и общее решения. Задача Коши, ее геометрическая интерпретация при n=2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Краевая задача.
,
– функция от переменных.
ДУ n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной:
определена в области .
Опр. Функция называется частным решением ДУ (2.4.1)на интервале , если при ее подстановке в (2.4.1) получается тождество на .
Задача Коши для ДУ n-го порядка
Найти частное решение ДУ (2.4.1), удовлетворяющее начальным условиям:
где точка .
При задача Коши имеет вид
,
геометрический смысл: найти интегральную кривую, проходящую через точку плоскости и имеющую заданный угловой коэффициент касательной в т. .
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ n-го порядка
|
|
Пусть функция и ее частные производные непрерывны в области . Тогда для точки , что на интервале существует и при том единственное решение задачи Коши.
Рассмотрим следующий вопрос. Пусть для ДУ n-го порядка выполняется условие существования и единственности. При каких возможно расположение интегральных кривых (см. рис. 35, 36)?
Рис. 35 | Рис. 36 |
(Ответ: соответственно | .) |
Опр. Общим решением ДУ n-го порядка (2.4.1) называется семейство функций , зависящее от произвольных постоянных такое, что
1. Для фиксированной функция является частным решением ДУ (3).
2. Для точки такие, что частное решение удовлетворяет начальным условиям (2.4.2).
Краевая задача для ДУ 2-го порядка: найти частное решение на отрезке [ , ] ДУ
удовлетворяющее краевым условиям
Опр. Равенство , неявно задающее общее решение ДУ n-го порядка называется общим интегралом ДУ n-го порядка.