Теорема о размерности пространства решений ЛОДУ n-го порядка

Размерность пространства решений ЛОДУ n-го порядка равна n.

Док-во: нужно доказать, что существует базис пространства решений, состоящий из  частных решений, т.е.  частные решения , которые удовлетворяют следующим условиям:

1. Они линейно независимы на

2. Любое частное решение  имеет вид

1. рассмотрим частные решения ЛОДУ , удовлетворяющие начальным условиям:

 – фиксированная точка интервала .

По теореме существования и единственности решения задачи Коши  определены на всем интервале .

Т.к. , то функции  – линейно независимы на , т.к. иначе  должен был бы равняться нулю.

2. Рассмотрим произвольное частное решение .

Оно удовлетворяет некоторым начальным условиям:

Рассмотрим частное решение . Оно удовлетворяет начальным условиям:

Т.е.  и  удовлетворяют одинаковым начальным условиям в точке . По теореме о единственности решения

Опр. Система n линейно независимых частных решений ЛОДУ n -го порядка  называется фундаментальной системой решений (ФСР) ЛОДУ.

ФСР – базис линейного пространства решений.

Теорема о структуре общего решения ЛОДУ n-го порядка

Пусть  – ФСР. Тогда общее решение имеет вид:

 – произвольные постоянные.

Док-во: нужно доказать, что для  такие, что частное решение  удовлетворяет начальным условиям:

.

Решение , удовлетворяющее данным начальным условиям, существует и определено на всем .  линейному пространству решений и разлагается по базису  линейного пространства: