1. ДУ с разделяющимися переменными
или
.
Запишем ДУ в виде
Проинтегрируем:
– общий интеграл, – произвольная постоянная.
Замечание. Если уравнение имеет корни , то функции являются частными решениями ДУ.
Пример.
– также решение ДУ.
2. Однородные ДУ
Замена , тогда
Тогда, подставляя в ДУ получим
– ДУ с разделяющимися переменными, находим .
Пример.
(x>0).
Замена: . Подставим в ДУ:
,
– общий интеграл.
– решение, т.е. , т.е. .
3. Линейные ДУ 1-го порядка.
– линейное однородное ДУ (ЛОДУ) 1-го порядка.
– линейное неоднородное ДУ (ЛНДУ) 1-го порядка.
I. ЛОДУ 1-го порядка.
– с разделяющимися переменными
– первообразная
(р получаем при ).
II. ЛНДУ 1-го порядка.
a. Решим соответствующее ЛОДУ: – произвольная постоянная
b. Решение ЛНДУ ищем методом вариации постоянной, т.е. в виде
Тогда
Подставим в ЛНДУ:
Находим ; интегрируем, находим .
Пример.
a. Соответствующее ЛОДУ:
b. Ищем решение ЛНДУ в виде
Подставляем в ЛНДУ:
|
|
Проинтегрировав, получим
Подставим в (2.3.1):
=
Замечание. ДУ
сводится к ЛНДУ относительно обратной функции
Решаем методом вариации произвольной постоянной:
.
4. Уравнения Бернулли
,
.
Ищем решения в виде . Подставим в ДУ:
,
Найдем функцию такую, что
– ДУ с разделяющимися переменными (ЛОДУ).
Используя (2.3.2), получим
– ДУ с разделяющимися переменными. Найдем
Пример.
Найдем из ДУ .
Подставим в (2.3.3):
,
Тогда
Замечание. ДУ
сводится к ДУ Бернулли относительно функции :
Решение ищем в виде