Пусть функции линейно зависимы на . Тогда :
Док-во: по определению линейной зависимости функций , не все равные , такие, что . Последовательно продифференцируем это равенство:
Зафиксируем
(2.7.2) – СЛАУ (однородных) относительно , которая имеет ненулевое решение, т.е. определитель системы равен , т.е. ().
Замечание. Обратное неверно, т.е. если , то функции могут быть линейно независимы.
Пример.
,
.
Т.е. на , но и линейно независимы, т.к. . Не существует , таких, что для всех .
Теорема о вронскиане системы линейно независимых частных решений ЛОДУ
Пусть – линейно независимые на – частные решения ЛОДУ n-го порядка . Тогда
Док-во: (от противного)
Пусть . Рассмотрим СЛАУ относительно :
Ее определитель , следовательно, система имеет ненулевое решение, т.е. , не все равные , такие, что выполняется система (2.7.3).
Рассмотрим частное решение ЛОДУ .
.
Оно удовлетворяет в т. начальным условиям (в силу (2.7.3)):
Рассмотрим частное решение ЛОДУ
Оно удовлетворяет в т. начальным условиям
|
|
.
Таким образом, частные решения ЛОДУ и удовлетворяют одним и тем же начальным условиям задачи Коши. По теореме о единственности решения задачи Коши , т.е. , т.е. – линейно зависимы на – противоречит условию линейной независимости .
Т.е.
Замечание. Пусть – частные решения ЛОДУ . График функции может иметь вид (см. рис. 37, 38):
Рис. 37 | Рис. 38 |
(для линейно независимых решений) | (для линейно зависимых решений) |
Не может иметь вид (см. рис. 39, 40):
Рис. 39 | Рис. 40 |
Теорема о размерности пространства решений ЛОДУ n-го порядка. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.