Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.

Дано: РАВС – правильная треугольная пирамида.

АВ = ВС = АС.

РО – высота.

Доказать: . См. Рис. 5.

Рис. 5

Доказательство.

РАВС – правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС. Пусть О – центр треугольника АВС, тогда РО – это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС. Заметим, что .

Треугольники РАВ, РВC, РСА – равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА. Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

S_бок = 3S_РАВ

Теорема доказана.

Задача 1

Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано: правильная четырехугольная пирамида АВСD, АВСD – квадрат, r = 3 м,

РО – высота пирамиды, РО = 4 м.

Найти: S_бок. См. Рис. 6.

Рис. 6

Решение.

По доказанной теореме, .

Найдем сначала сторону основания АВ. Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.

Тогда, м.

Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:

Рассмотрим треугольник BCD. Пусть М – середина стороны DC. Так как О – середина BD, то (м).

Треугольник DPC – равнобедренный. М – середина DC. То есть, РМ – медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC. Тогда РМ – апофема пирамиды.

РО – высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой ОМ, лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ.

(м).

Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:

Ответ: 60 м²_.

Задача 2

Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен м. Площадь боковой поверхности равна 18 м². Найдите длину апофемы.

Дано: АВСP – правильная треугольная пирамида, АВ = ВС = СА, R = м,

S_бок = 18 м².

Найти: . См. Рис. 7.

Рис. 7

Решение.

В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.

,

м.

Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр.

м.

По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где h_а – апофема пирамиды. Тогда:

Ответ: 4 м.

Список литературы

1. Атанасян Л.С. Геометрия. 10-11 кл. М.: Просвещение, 2014 г.

2. Математика. Задачник: учеб для студ. учреждений сред. проф. Образования / М.И.Башмаков. – 5-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2018.

 

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если ее высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

Задача 2. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого гипотенуза AB=AC=13 см, BC=10 см; ребро AD перпендикулярно плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача 3. Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен см. Площадь боковой поверхности равна 30 см². Найдите длину апофемы.