Линеаризация уравнений. Линейность и нелинейность

       СЛАЙД 6. Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции. Он заключается в том, что реакция системы на любую комбинацию внешних воздействий равна сумме реакций на каждое из этих воздействий, поданных на систему порознь. Благодаря принципу суперпозиции разработана общая теория линейных САУ, описываемых линейными дифференциальными уравнениями любого порядка.

       К нелинейным системам принцип суперпозиции не применим. Нет и общей теории нелинейных дифференциальных уравнений, на основе которой могла бы быть создана общая теория нелинейных САУ. Существует лишь ряд частных методов для решения некоторых видов нелинейных уравнений невысокого порядка. Вместе с тем, если не ограничивать диапазона изменения входных воздействий, то все реальные САУ оказываются нелинейными. Трудность исследования нелинейных систем заставляет упрощать их описание. Желательным пределом такого упрощения является приближенное описание их линейными уравнениями, хотя бы в некоторых из интересующих нас режимов. Это называется линеаризацией нелинейных систем. В тех случаях, когда линеаризация невозможна, прибегают к приближенным методам исследования нелинейных систем с учетом их нелинейностей.

Модели, которые описываются линейными операторами, называются линейными. С ними можно работать с помощью методов теории линейных систем наиболее развитой и позволяющей точно решать большинство известных практических задач. Методы исследования нелинейных операторов очень сложны математически, в теории нелинейных систем точные решения известны только для достаточно узкого круга задач. Поэтому, чаще всего сначала проводят линеаризацию нелинейной модели объекта (привода), то есть строят приближенную линейную модель на основе более реалистичной нелинейной модели объекта.

Линейные операторы обладают двумя свойствами:

- умножение на константу: , где  - любая постоянная (то есть, при увеличении входа в несколько раз выход увеличивается во столько же раз);

- подчиняются принципу суперпозиции: если на вход подать сумму сигналов, выход будет представлять собой сумму реакций того же оператора на отдельные сигналы.