В операторной форме и его операторные схемы замещения

Лекция 14. Расчет и анализ линейных электрических це- пей в переходном режиме операторным методом

Краткие сведения о преобразовании Лапласа.

Пара преобразований Лапласа

¥      - st

-1              1

s 1 + j ¥

X (s) = L [x(t)] = ò

0-

Основные свойства:

Линейность

x (t) e,

x (t) = L

[X(s)] =

2 p j

ò

s 1 - j ¥

X (s) ds

å ak xk (t) ⇄

k

å ak Xk (s).

k

Изображение производной

dx ⇄ sX (s) - x (0-).

dt

Изображение интеграла

t

ò  x (t¢) dt ¢⇄

0-

X (s).

s

Изображение смещенной по времени функции

x (t- t0) ⇄

X (s) e- st 0 ,

t0 > 0.

5. Теорема смещения в комплексной области

X (s± a) ⇄ e

at x (t).

Изображение постоянной функции

A ×1(t) ⇄ A.

s

Изображение экспоненциальной функции

at     ⇄ 1

e ×1(t)       .

s - a

Изображение степенной функции

× ⇄ .

tn   1(t) 𝑛! 

𝑠𝑛+1

 

Изображение степенной функции, умноженной на экс- поненциальную функцию

𝑡𝑛𝑒𝛼𝑡 ∙ 1(𝑡) ⇄     𝑛!

(𝑠 − 𝛼)𝑛+1

Теоремы о предельных значениях

Теорема. Если существует предел функции x(t) при стремле- нии t к нулю справа, то

x (0+ ) =

lim sX (s)

s ®¥

Необходимо отметить, что правая часть этого уравнения может су-

ществовать и в том случае, когда

x (0+ )

не существует. Поэтому,

прежде чем применять данное уравнение, важно убедится в суще-

ствовании

x (0+ ).

Теорема. Если lim x (t)

t ®¥

существует, то

lim x (t) = lim sX (s)

t ®¥        s ®0

Сюда в равной степени относится замечание, сделанное в связи с предыдущей теоремой.

 

Основные уравнения идеализированных элементов

в операторной форме и их операторные схемы замещения:

Основные уравнения резистивного элемента

В операторной форме и его операторная схема замещения

Основные уравнения R- элемента имеют вид

UR  (s) = Z R  (s) IR  (s), IR  (s) = YR  (s) UR (s),

где Z R (s) = R

- операторное сопротивление, а

YR  (s) = G = 1/ R

- опе-

раторная проводимость R- элемента.

Операторная схема замещения R- элемента представлена на рис.14.1.

Рис.14.1. Операторная схема замещения R-элемента

 

Основные уравнения индуктивного элемента

в операторной форме и его операторные схемы замещения

Основные уравнения L- элемента имеют вид

UL (s) = ZL (s) IL (s) - LiL (0- ),

I (s) = YL (s) UL (s) + iL (0- ),

s

где Z L  (s) = sL

- операторное сопротивление, а

YL (s) = 1/ ZL (s) = 1/ (sL)

- операторная проводимость L- элемента.

Операторные схемы замещения L- элемента представлены на рис.14.2.

Рис.14.2. а – последовательная операторная схема замещения L- элемента; б – параллельная операторная схема замещения L- элемента