Модуль 1. Элементы высшей алгебры

1.1.Матрицы и определители.

Матрицы. Пусть m и n – натуральные числа.

Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел из m строк и n столбцов:

, i = 1…m, j = 1,…,n.

Здесь m – число строк в матрице А; i – номер строки (1 ≤ i ≤ m); n – число столбцов; j – номер столбца (1 ≤ j ≤ n); а_ij – элемент матрицы А, находящийся в i –й строке и j –м столбце. Матрицу А удобно обозначать (а_ij)_mn. По матрице А можно построить транспонированную матрицу А ^т, сделав строки матрицы А столбцами с теми же номерами.

Две матрицы А = (а_ij)_mn и В = (b_ij)_pq называются равными, если m = p,

n = q, a_ij = b_ij для всех значений i,j.

Матрица размера 1 × n называется матрицей-строкой, матрица размера m×1 называется матрицей-столбцом.Матрица А = называется квадратной порядка n, если число строк равно числу столбцов (m = n). Квадратная матрица Е порядка n называется единичной, если у неё на главной диагонали стоят единицы, а на всех остальных местах – нули:

Матрица А^t, полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной относительно А.

Сложение матриц и умножение их на число. Пусть А = (а_ij) и

В = (b_ij) матрицы размера m×n.

Суммой матриц А и В называется матрица С, для которой

c_ij = a_ij + b_ij,(1)

где 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n (то есть, чтобы сложить две матрицы, нужно сложить их соответствующие элементы).

Произведением матрицы А на число  называется матрица А =

= (а_ij)_mn (то есть, чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент этой матрицы умножить на это число).

Пример 1. Пусть А = В = .

Вычислить матрицу 4А + 5В - 2В ^Т.

Решение. Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент этой матрицы умножить на это число. Чтобы сложить матрицы одинаковых размеров, нужно сложить одноименные элементы этих матриц, В ^t = - матрица, транспортированная к матрице В. Тогда

4А + 5В – 2 В ^t = + + = .

Произведение матриц. Пусть А = и В = Произведение матриц существует, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Перемножаются матрицы А и В по правилу: i-я строка первой матрицы А умножается скалярно на j - й столбец матрицы В, и полученное число Сij записывается в j - й столбец на i - е место искомой матрицы С:

. (2)

Свойства произведения матриц:

Произведение матриц, вообще говоря, не коммутирует, т. е. не всегда равно .

Пример 2. Даны две матрицы:

Найти произведение АВ. Можно ли получить произведение ВА?

Решение. Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, поэтому произведение АВ определено. Умножая строку матрицы А на столбец матрицы В, по формуле (2) получаем

Произведение ВА не определено, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А.

Целой положительной степенью А^К(к > 1) квадратной матрицы А называется произведение к матриц, каждая из которых равна А.

Многочленом степени к (к – целое неотрицательное число) от квадратной матрицы А называется выражение вида

Пример 3. Найти P(A), если P(x) = x² – 3x + 5 и .

Решение. В соответствии с определением многочлена от матрицы получаем P(A) = A² –3A + +5E или

Определители. Определителем квадратной матрицы 2-го порядка называется число

Определителем квадратной матрицы 3-го порядка называется число

Минором какого-либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Алгебраическим дополнением элемента а_ik определителя называется его минор, взятый со знаком (-1)ⁱ⁺^k.

Свойства определителей:

- если поменять местами две соседние строки определителя, то он изменит знак;

- если две строки равны, то он равен нулю;

- если поменять местами строку и соответствующий столбец, то определитель не изменится;

- если все элементы некоторой строки умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число;

- если соответствующие элементы двух строк определителя пропорциональны, то он равен нулю;

- если каждый элемент некоторой строки определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме указанной, прежние, а в данной строке в первом определителе стоят первые, а во втором вторые слагаемые;

- при прибавлении к элементам любой строки соответствующих элементов какой-либо другой строки, умноженных на одно и то же число, величина определителя не изменится;

- определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения.

Данные свойства можно сформулировать и для столбцов матрицы.

Пример 4. Вычислить определитель третьего порядка тремя способами: 1) по определению; 2) разложить по элементам 1-й строки;

3) преобразованием его с помощью свойств определителя:

Решение:

1. D = 1×6×2 + 2(-1)(-1) + 2×5(-4) – (-4)6×(-1) –2×2×2 -1×5(-1) = -53.

2. Раскладываем по элементам 1-й строки 3. Умножая первую строку на (-2) и прибавляя ко второй, затем первую строку прибавляем к третьей, получаем

Разлагая этот определитель по элементам первого столбца, находим

Обратная матрица. Матрицей, обратной квадратной матрице А, называется квадратная матрица А^-¹, удовлетворяющая равенствам

АА^-¹= А^-¹А = Е,

где Е – единичная матрица.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Всякая невырожденная квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу

где А_ij – алгебраическое дополнение элемента а_ij матрицы А.

1.2.Системы линейных уравнений

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

(4)

Эту систему можно записать в матричной форме: AX = B,

где

Решением системы называется всякая матрица-столбец X, обращающее матричное уравнение AX = B в тождество. Система называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если решений нет. Совместная система называется определенной, если решение единственное, и неопределенной, если она имеет бесконечно много решений. Система называется однородной, если ее свободные коэффициенты равны нулю.

Всякая квадратичная невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу. Найдя произведение А∙Х, замечаем, что систему уравнений (3) можно записать в виде А∙Х = В. Чтобы решить систему А∙Х = В матричным методом, умножим обе части этого равенства слева на А^-1 и получим А^-1∙ А∙Х = А^-1∙ В, но А^-1∙ А = Е, Е∙Х =Х, значит

Х = А^-¹∙ В.

Правило Крамера. Если m = n и Δ = det A ≠ 0, то решение системы можно получить по формулам Крамера:

где Δ _i (i = 1,2,…,n) – определитель, получаемый из определителя Δ заменой i‑го столбца на столбец свободных членов.

Две системы называются равносильными, если каждое решение одной является решением другой, т.е. у них множества решений совпадают. Следующие элементарные преобразования переводят систему в равносильную:

а) перемена местами любых двух уравнений;

б) умножение обеих частей любого уравнения на неравное нулю число;

в) прибавление к обеим частям любого уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на произвольное число.

Данные преобразования проще выполнять над матрицей, составленной из коэффициентов при неизвестных переменных и свободных членов. Такая матрица называется расширенной матрицей системы:

(6)

Метод Гаусса. Метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса, применим к любой системе линейных уравнений. Решая систему этим методом, преобразования совершаются не над уравнениями, а над расширенной матрицей. Это метод приведения расширенной матрицы системы к треугольному виду. Рассмотрим данный метод на примере.